Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 [ 39 ] 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56

l,=1

Рис. 61. Схема конечного элемента Рис. 62. Расчетная схема элемента надземного участка трубопровода надземного участка трубопровода

трубопровода на расстоянии х от начала коордниат; S - продольное усилие, положительное при сжатии; 4? - интенсивность поперечной нагрузки.

Решение этого уравнения запишем в форме начальных параметров. Положительные направления начальных параметров приведены на рис. 62. Уравнения прогиба, угла поворота сечения, нзгибаюшего момента и поперечной силы при S>0 имеют внд:

I sin kx

EI кЧ

(1 - cosftA;)-Qo---(W -sinftx)+

\---(--1 + cos йа: I;

EIkH V 2 )

ф(х) = фоС08*Х-

Лс I

EI kl

sin kx

EI кЧ

(1 - С08АДГ) +

{kx - sin kx);

Eim

M(x) - Фо sin fex 4- Affl cos fex: + Qo - / kl

Q(x) = Qo-qx,

sin kx +

;i - cos kx);

(12.3)

где tin, фо. Mo, Qo - соответственно нсремещеине, угол поворота, изгибающий момент и поперечная сила; / длииа элемента; k=SjEI - параметр продольного усилия.

Для удобства вычисления матрицы жесткости под поперечной силой Q понимается сила, направление которой перпендикулярно к недеформировап ной оси элемента (см. рнс. 62).

При действии растягивающего усилия (S<0) соответствующие уравнения можно получить (12.3), заменив к на и используя известные зависимости для функций комплексных псре.мешгых.

Используя приведенные решения и уравнение продольного сжатия, находим искомые элементы матрицы жесткости и грузовых членов:

022 = 22 -

12£/

033=33 = EFil, «31 = «32 = «13 = «23 = bsi = *34 = Кз = 23 = 0;

qP 12

= b2P = 4;

(12.4)

Os P = fcs p = «Д tEF + pFcB- рОкцР.

(12.5)

где F - площадь сечения стенок трубы; At - температурный перепад, положительный при иагреваиии; р -внутреннее давление; fee - площадь сечения трубы в свету; Окц - кольцевые напряжения от внутреппего давления. Приведем формулы для определения v в функции безразмерного параметра продольного усилия т=\5\Р/пЕ1: для S>0

ignm-лт

п т.

Vo =

2 2 nm - sinnm

4 sin л т

д т.

для S<0

V, =

V4 =

Vi =

th дт пт

2 ~2~ пт - sh

4 sh пт

3/tb

3f th

nm

для S = 0 Vi - V5=l.

Таким образом, получены матрицы жесткости и реакций для элементе открытой (надземной) части трубопровода. Здесь индекс элемента i опущен, эти выраженпя используются для любого элемента с приспоенисм соответ ствующего ин;1екса (.

Так как рассматривается надземный переход с при.мыкающими полу бесконечными подземиы.ми участками, то необходимо записать также мат рицу жесткости и вектор грузовых члсиов для начала полубесконечного уча стка. В качестве расчетной модели грунта принимается упругое основапш т. е. считается, что ио длине имеются распределенные поперечные и продоль ные связи, сопротивление которых пропорционально соответствующим пере мещеиням, т. е. Гх=-Схпи, qy=-CyoV.

Уравнения продольно-поперечного изгиба и продольных перемещений дл такой расчетной схемы (рис. 63) имеют вид:

Л- пи = О,

(12.

(12.7)

(12.8)i

и -продольное перемещение трубопровода па расстоянии х от начала коор-

динат; Су о

обобщенный коэффициент норлтальпого сопротивления грунта!

Dts наружный диаметр трубы. Сю - обобщенный коэффициент ка-сательпого сопротивления грунта.

На основании решепин уравнений (12.6) и (12.7) через начальные параметры (см. гл. 4 и 6) находим искомые элементы матрицы же- сткостн и грузовых членов дли начала иолубесконечного элемента:

Рис. 63. Схема полубесконечиого подземного участка трубопровода, примыкающего к переходу

Ol3 = «23 = «31 = «s2 == 0;

-y/cyoDaE]

SL-2CyoDEI-S;

asp = сШЕ + pfCB рокц •

(12.9)

Этн элементы матрицы используются для оиисаиия только примыкающих к надземнсму переходу с обеих сторон подземных участков трубопровода.

§ 3. Уравнения равновесия узла

Как отмечалось раисс, вся рассчитываемая система заменяется конечными линейными элементами, соединенными в узлах. В нашем случае в каждом узле соединяются два элемента. Крве того, для общности решения буде.м считать, что в каждом узле имеются три упруго-иодатлнвые опоры - угловая и две линейные, иаиравленные поперек и вдоль элемента. Типовой узел рассчитываемой системы изображен па рис. 64. Особыми свойствами будут обладать только крайние узлы, где имеются полубескоиечные элементы.

Направление счета узлов и элементов принимаем слева направо. Обозначим номер уз.1а через t, длину элемента, предшествующего узлу, через L, последующего U+i, угол между эле.меитом и вертикальной осью, иапраплсн-ной вниз, через у с соответствующим индексом, перемещение узлов обозначим через Z с соответствующим индексом, причем для узла i перемещения 2з i-2, Zs i-i и Zs 1 означают соответственно угловое, поперечное и продольное (осевое) перемещения в местной системе координат. Положительные иа-

правления углов -у и псремещепий z приведены на рис 64. Угол между эле-мента.«и отредйчястся по формуле

(12-10,

причем утол tpi будет положительным, если вращение продолжения предыдущего элемента до совмещения с последующим будет происходить по часовой стрелке. Учитывая особенности крайних узлов, обозначим их номера соответственно индексам и и к.

Уравнения равновесия узла выражают условие равенства пулю суммы моментов и проекций всех сил на ортогональные оси от всех нагрузок н1 воздействий. Тогда для каждого ззла в плоской системе иолучаеы три урав-i нения, которые в матричной форме имеют вид

где векторы перемещений и /рузовых реакций

(12.11

(12.1

Матрица жесткости узла вычисляется иа основании матрицы жесткости элементов, примыкающих к узлу, и матрицы жесткости связей с приведепиек ее к принятой (см. рис. 64) системе узловых перемещений:

/(/-1-1) "?к№)

(12.1

где П; -матрица поворота; Пл-транспонированная матрица; Ci -матриц жесткости связей;

(12.1

Аналогичным образом вычисляется матрица грузовых членов

rji = - Ki - пДн,-. (12.15)

Уравнение (12.11) составляется для всех узлов системы путем присвоения индексу i всех значений номеров узлов. Отметим также, что при /=н нли /=к матрицы жесгкосги соответствующих .э.чемеитов берутся для подземной части. Кроме того, необходимо учесть, что если индекс нри перемещениях Z .мепьще Зн -2 или больше Зк, то соответствующие неремещения Z = 0, так как крайнне элементы приняты полубескоисчиыми.

§ 4. Компоненты напряженно-деформированного состояния

трубопровода

Из решения системы линейных уравненнй (12.11), число которых равно строенному произве.чению числа узлов, определяют неизвестные перемеше-пия Z во всех узлах. Далее, зная перемешення обоих концов элемента, можно определить граничные параметры. Под граничными параметрами здесь понимаются Три компонента перемсшепий - поперечные, продольные перемещения и угол поворота - и три компонента усилий - поперечная, продольная силы и изгибающий момент. Для вычисления компонентов усилий исполь-:п-ются эле.менты матрипы жесткости и матрицы грузовых членов. Расчетные зависимости для вычисления граиичпыс параметров имеют вид: . .

Wo = Z3,- 4 cos Ф, 1-Ь 2з£ з sin ф,-;

ЛТо = 019 + Zsi-sOii - (2.-»-4 COS Фг 1 -I- zsis sin (fi-x) a,j + Zaf-ofcu+si-ifcia; qo = om + zsi ra.,i - (zsii cos Ф,- 1 zi.sin Vf i) a« ~ zi-i + z.iib.;

(12.16)

vizgi;

Ф/ = zsi2,

t ml -big - zsi mn - at-ifliz + (zai-icos(f, i-f + Zgt-a sin фх) fcjj -- zstibii;

qi b,q - zsian - zcqoz - (Z3.- 4 cos (p, i 4- 2з1-з sin ф-!) bi, -\- zsi-a .

(12.17)

Обычно для онределепня распределсиня перемещений и усилий по длине стержня считается удобным использовать метод начальных параметров. Однако как показал нроведепиый матипный эксперимент, испо.чьзованис этого метода приводит к численным ошибкам. Поэтому нам при числеппых методах peniennn пришлось отказаться от этого общепринятого метода и использовать уравнения в граничных параметрах:

viv\\- Ф, (I)] 4- f/®7 (I) + Фо [Ф1 (I) - Фт (Е) Ф1 (Ю - Фв (I) Ф* (1)] +

+ Ф;Ф8() + [Ф4 (I) - Ф4 (1) Фт (S) - Фв (5) Фз (1)];

«РЕ - (tv - щ) Фа (1> 1- Фо 1Ф5 т ~ Фю (Ю Фб (1) - Ф. (I) Ф1 (1)] -Ь ФгФи* <е) + 4--V -Л" © -®»(i) ()1:

щ = мо [ф, (1) - ФЛ1) Фц т) + мгфп (i) + qo 1Ф1 (£) - Фд (1) Фл (1)1 -

-<71Ф2(Ю-Ф2(1)Ф11 (1)1-.

Q-Qo(l-fe) + QHS- (12-18)

В этнх уравнениях g=-/,/Z - безразмерная текущая координата, изменяющаяся от О до 1, а Ф -функция от g. Значения введенных допачните.пьпых функций Ф(\) вычисляются по приведенным формулам, приче.\1 зиачения функций и:5меняются в зависимости от знака продольного усилия: для S > О

ф (I) =-sin nmg;