Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 [ 11 ] 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68

По доказанному, для истинного дебита Q имеем 0 < Q <

In cos о

-1 1

<

о J

In COS If

-1 u-O R

Достаточная для технических расчетов 10 %-ная точность заведомо обеспечивается при R/f = 100 вплоть до о = 0,9 я; 51°.

Пример 4. Допустим, что имеется плоский пласт площадью S с контуром питания С и с круговой галереей радиусом р < =

Выполняя симметризацию относительно оси галереи, получим задачу о течении между двумя круговыми галереями радиусов р и . По сказанному выше, для дебита исходной задачи имеем

§ 3. Установившиеся безнапорные течения

Безнапорным называется фильтрационное течение, при котором полный напор недостаточен для того, чтобы жидкость поднялась до кровли пласта, в результате чего фильтрационный поток ограничивается сверху свободной поверхностью - поверхностью раздела между грунтовыми водами и воздухом или между нефтью и газом. Аналогичное течение имеем в тех случаях, когда под слоем движущейся нефти располагается неподвижная подошвенная вода. В термине «свободная поверхность» пренебрегается тем обстоятельством, что переходная область между жидкостью и газом или между двумя жидкостями в пористой среде не является резкой границей типа границы вода - воздух в стакане, а обязательно размыта из-за действия капиллярных сил. Толщина капиллярного переходного слоя измеряется десятками сантиметров и метрами. Поэтому кратко рассматриваемая в этом параграфе теория оказывается тем более точной, чем больше характерные размеры потока.

Будем рассматривать, таким образом, свободную границу как математическую поверхность, отделяющую фильтрационный поток от области, занятой неподвижной жидкостью. На этой границе должны выполняться два физических условия. С одной стороны, такая поверхность представляет собой поверхность тока, на которой нормальная компонента скорости обращается в нуль:

и„г = 0, (П.72)

а с другой стороны-давление на свободной границе определяется гидростатическим давлением пограничной с фильтрационным потоком неподвижной жидкости, и потому

р\т = po - ogz, (П.73)

где р -плотность «соседней» жидкости; ро - давление в этой жидкости на горизонтальной поверхности (z=0). В частности, если фильтрационный поток граничит с частью пласта, заполненной воздухом или газом пренебрежимо малой плотности, то из (П.73)

получаем условие постоянства давления на свободной поверхности безнапорного потока р\т = ро. Именно выполнение этого условия характерно для безнапорных течений.

Свободная граница отличается от заданных заранее тем, что на ней ставятся два граничных условия вместо одного. Лишнее краевое условие служит для отыскания неизвестной заранее свободной границы.

Безнапорные фильтрационные течения играют основную роль в теории движения грунтовых вод. В настоящее время создан аналитический аппарат, позволяющий получить точные решения ряда важных задач. Эти задачи и их решения рассмотрены детально в классической монографии П. Я- Кочиной [33], а также в [34]. В последующем изложении используется лишь приближенная гидравлическая теория так называемых пологих безнапорных движений.

Под пологим фильтрационным движением понимается движение, происходящее в пластах с конечной глубиной водоупора, в котором вертикальная компонента скорости фильтрации мала по сравнению с горизонтальной компонентой. Так как характерной скоростью при безнапорном фильтрационном движении является коэффициент фильтрации С - см. формулу (I. 7), то горизонтальная компонента скорости может быть либо порядка С, либо мала по сравнению с С, т. е.

м,«С = %/(х. (П.74)

Это неравенство можно переписать еще так:

[x«z/A:«pg. (11.75)

Но \i.ujk представляет собой ту часть вертикальной компоненты градиента давления, которая обусловлена движением. Из неравенства (11.75) следует, что вертикальная компонента фильтрационного градиента давления при пологих безнапорных движениях мала по сравнению с гидростатической. Поэтому распределение давления по вертикали можно при пологих движениях считать гидростатическим. Выведем одно важное для дальнейших рассуждений соотношение. Рассмотрим объем V, ограниченный свободной поверхностью жидкости и некоторой цилиндрической поверхностью с вертикальными образующими. Обозначим через h расстояние от свободной поверхности жидкости до водоупора, а через Zq расстояние от водоупора до горизонтальной плоскости г = 0. Объем жидкости, заключенной в области V и приращение этого объема за время dt равны соответственно

mhdS, (mdS\df, (11.76)

где S - проекция объема V на горизонтальную плоскость.

Вместе с тем указанное приращение объема равно объему жидкости, притекающей в область V извне за время dt:

~dtdlf°Undz = -dt I qndl, q = fudz, (11.77)

г г„ I- г,

где Г - замкнутый контур, ограничивающий площадку S; Un - нормальная компонента скорости «; qn - нормальная компонента вектора потока q на Г.

Приравнивая (П.76) и (П.77), по формуле преобразования контурного интеграла в интеграл по площади и с учетом того, что площадка 5 может быть выбрана произвольно, получаем уравнение

т/г, г + div2 = 0. (П.78)

Заметим, что уравнение (П. 78) -точное, справедливое независимо от каких-либо допущений.

Для установления связи между q и h воспользуемся предположением о пологости движения.

По предыдущему, давление в этом случае распределяется по вертикали с точностью до малых величин по гидростатическому закону, так что величина Н = z + p/pg вдоль каждой вертикали будет постоянна и равна h -f zo-

H = h + zo + 0 (uJC); u = ~C gradz (h + zq) + 0 (u).

Таким образом, пренебрегая малыми величинами, скорость и можно вынести из-под знака интегрирования по вертикали в соотношении (П. 77), определяющем вектор q. Получаем

= - C/igrad2(/i + Zo). (П.79)

Подставляя (П.79) в (П.78), имеем

h f = (С/т) div (/гgrad (h + zo)). (П.80)

В частности, если поверхность водоупора представляет собой горизонтальную плоскость (zo = 0), уравнение (П.80) принимает вид: ht = aAh a = Cl2m = 2-kpg(m)-K (П.81)

Уравнения (П.80) и (П.81) были впервые получены Буссинеском. Для стационарных движений уравнение Буссинеска приводится к уравнению Лапласа для квадратичной функции напора:

ДХ = 0, X = 2-(г+ 2ftzo)- (П.82)

Теория пологих безнапорных движений приближенная. Несмотря на это, при фильтрации в области, ограниченной цилиндрической поверхностью с вертикальными образующими и горизонтальным водоупором, на основе такой теории получаются точные значения дебитов и точные распределения по плоскости вектора интегрального потока q [34].

§ 4. Нестационарное движение

однородной сжимаемой жидкости. Линейная теория

Постановка основных задач. Простейший и наиболее изученный случай нестационарной фильтрации - движение одно-