Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 [ 9 ] 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68

Используя тождество (П.42), получим из (И.48): X* [V] - X* [и] >\ p{v - u) tidS -

- lp(v - u)ndS = y{v - u) tidS = 0. (II .49)

Тем самым мы показали, что истинное поле скоростей и минимизирует полный потенциал диссипации X* {v]. Точно так же доказывается, что истинное поле давлений р минимизирует полный дополнительный потенциал диссипации Y* [?].

Следствия из вариационных принципов. Сформулированные вариационные принципы можно использовать для построения решений прямыми вариационными методами. Здесь же рассмотрено применение этих принципов для качественного исследования и построения оценок решений.

Прежде всего можно установить единственность решения задачи: допустив существование двух различных решений системы (11.38) при условиях (11.37), получим противоречивые неравенства

X* [И1] > X* [И2, Х*{И1<Х{И2], (11.50)

откуда следует, что X* = X [И2]. Но в силу рассуждений, по-добных (11.48),

X [и,] - X Ш = \ i (х/й) (И1 - U2fdV. (11.51)

Таким образом «1 = Иг - решения совпадают. Далее для давления справедлив принцип м а к с и м у м а: давление принимает свои наибольшее и наименьшее значения на границе области. Действительно, допустим, что в области D максимум давления Р* больше, чем на границе Р+. Следовательно, максимальное давление достигается во внутренней точке области М*. Тогда найдется внутренняя подобласть области D, содержащая точку М*, на границе которой р = Р* - е. Рассматривая решение уравнения (11.39) в подобласти и учитывая его единственность, найдем, что давление Р постоянно по всей подобласти р = = Р* -s<P*. Это противоречит условию, что р{М) = Р*. Полученное противоречие и доказывает принцип максимума.

Из нашего рассуждения следует еще одно важное утверждение: поверхности постоянного давления (изобары) в стационарном фильтрационном потоке РИС. 4. Укрупненная трубка тока либо заканчиваются и начина-

ются в точках границы, либо - если они замкнуты - содержат внутри участок границы области (такое может быть только в том случае, если область движения многосвязна).

Ограничимся в дальнейшем наиболее существенным для

практики случаем, когда область фильтрации представляет собой укрупненную трубку тока (рис. 4), т.е. ограничена непроницаемой боковой поверхностью Cq, на которой Ып = 0, и двумя поверхностями постоянного давления Ci и Сг (вход и выход), на которых давление принимает значения Pi и Рг, P\>Pi соответственно. Большинство задач, связанных с расчетом дебитов скважин и суммарных объемов отбора по месторождениям, принадлежит именно к этому классу. Разность P=Pi -Рг будем называть перепадом давления на данной трубке тока, а полный поток жидкости через произвольное сечение трубки тока - расходом:

q = -UndS=UndS. (11.52)

Чаще всего нас интересует именно расходная характеристика фильтрационного потока - зависимость Q (Р) - или, поскольку она, очевидно, линейна - коэффициент расхода

Л = Q/P = const. (11.53)

Допустим, что найдено решение задачи теории фильтрации, т. е. поля » и /7 для трубки тока. Тогда имеем соотношения

UunpdV = UPi-P2)Q; (11.54)

9 J inf"- - 9

A = P-Uk/\)\vP\dV. (11.55)

Далее, поскольку функции и, p - решение задачи теории фильтрации, имеем

X* [«] = И Ш + PindS = - i-1 {up)dV -- (P. - P2) Q = - i. (Pi - P2) Q = QVA = - i i, {Ik) u4V,

(11.56)

так что Л = -i-Q2/X*[»]. (11.57)

Соотношения (11.55) и (11.57) можно многими способами использовать для получения оценок коэффициента расхода, продуктивности Л и доказательства общих утверждений относительно зависимости других величин от геометрических и физических параметров пласта.

Действительно, возьмем произвольное скалярное поле ср, удовлетворяющее условиям tpc, = 1, <f\c = 0, и произвольное солено-идальное векторное поле v. Тогда в силу доказанных вариационных принципов

Л = ((хР2)-1 J А: I VP \4V = ;.-Ч I А: I V (р/Р) f dV =

= (X- mini A: I vs- ?dV < (x-JA: vs- {dV. (11.58)

Таким образом, из (11.55) следует неравенство (11.58)- оценка сверху для коэффициента продуктивности. С другой стороны, из вывода принципа минимума потенциала диссипации X* следует, что, если рассматривать не все поля скорости, а только поля, отвечающие фиксированному расходу Q, то на них решение также минимизирует функционал X* и, следовательно,

X* [и] = h-u4V - QP < 1h-v4V - QP, (П.59) i h-u4V < 11 A:-uW; Q [«] = Q [v].

Рассмотрим «нормированное» поле

«о = «/Q. (11.60)

Очевидно, этому полю будет соответствовать единичный расход, Q[«o]= 1, и в силу линейности задачи оно будет минимизировать интеграл

k-vldV (11.61)

на всех соленоидальных векторных полях vo с единичным расходом. Теперь имеем:

Л = - q2/x* [и] = [.-1q2/ 1А:-1м2у i-/k-uUV >

>\l>. k-hUv]-. (11.62)

L D J

Неравенства (11.58) и (11.62) позволяют получить строгие двусторонние оценки для коэффициентов продуктивности без фактического решения задачи (11.37)-(И.38). Чтобы сделать это, нужно взять произвольные пробные поля <fo и vo, удовлетворяющие условиям Д<ро = 1, Q [vo] = 1. div ©о = О, и вычислить для них интегралы Ji [fo] и /а [Vo]. Тогда

IAvo]<A<h[9o]. (11.63)

Насколько удовлетворительной будет такая оценка, зависит от того, как удачно выбраны пробные функции fo и vo- Ниже приведем примеры использования этого подхода для оценки дебитов скважин.

Вопрос об оценках коэффициентов продуктивности можно поставить и по-другому. Если область D имеет сложную форму и (или) распределение проницаемостей в ней является достаточно сложным, естественно ставить вопрос о том, что будет с дебитом (или коэффициентом продуктивности), если изменить форму области и (или) распределение проницаемости. На этом пути удается получить простые и вместе с тем важные вариационные оценки. Докажем, прежде всего, физически ясное утверждение, что если при фиксированной форме трубки тока и граничных условиях изменим поле проницаемостей k таким образом, что в каждой точке она не уменьшится (т. е. либо увеличится, либо останется