Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 [ 8 ] 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68

между скважинами эквипотенциалы почти параллельны рядам скважин. Это позволяет значительно упростить расчет дебитов скважин по заданным перепадам давлений. Для иллюстрации ограничимся одним примером прямолинейной цепочки равнодебит-ных скважин, расположенных вдоль оси Ох на расстоянии I друг от друга. В силу симметрии область течения можно разбить на элементы, имеющие вид полосы, параллельной оси у со скважиной в начале координат. Эти элементы разделяются линиями тока и поэтому изолированы друг от друга.

Комплексный потенциал цепочки источников имеет вид

W{z) = - (27г)-1(71п sin (тгг ). (11.30)

Отделяя действительную часть выражения (II.30), получим

ч = - (47г)-V in [ch2 {Tzyll) - cosW/)] + С, (11.31)

Где С - произвольная постоянная.

При г = Ух + у<1 (вблизи скважины), используя разложения функций ch/ и cos/ в степенные ряды, получим

<Р-(27г)-1(71п(7гг ) + 0{гУ1) + С. (11.32)

Таким образом, эквипотенциали, как и для изолированного источника, являются окружностями с центром на оси скважины. При у1 и более второй член в квадратных скобках в формуле (11.31) при любых X много меньше первого, что позволяет положить

<Р-ду121 + (27:)-д1п2+С. (11.33)

Пусть контур питания совпадает с прямой y=L>l. С учетом (11.33) можно считать, что условие ср = const на нем выполняется достаточно точно и решение описывается формулой (11.31). Тогда на скважине и на контуре питания имеем соответственно

<Рс = - (27г)-1(7 In (тгГсЛ) + С; 9к = -qLI2l + (2)- </ In 2 + С, (11.34)

откуда получим формулу для дебита

q = 2kl (рк - Рс)!\>. {L + W) In ( 27ггс)]. (11.35)

Выражение (11.35) можно интерпретировать как формулу для двустороннего притока к участку галереи шириной I. Если рассматривать (11.35) как условие пропорциональности расхода и перепада давления, то, по Ю. П. Борисову, коэффициент

lL!k + {11 кт:) In ( 27гГс) (11.36)

можно назвать полным фильтрационным сопротивлением, состоящим из «внешнего» сопротивления <LIk, определяющего приток к галерее, и «внутреннего» сопротивления Hg, добавленного за счет искривления линий тока вблизи скважины.

§ 2. Качественные методы теории напорных течений

Эффективные решения, подобные приведенным в предыдущем параграфе, можно получить лишь для фильтрационных течений в сравнительно простых областях. В других случаях расчет полей течения связан с большими трудностями. Заметим, однако, что в прикладных задачах представляют интерес не столько сами поля, сколько некоторые их интегральные характеристики, чаще всего дебиты при заданных перепадах давления. В теории напорной фильтрации можно установить несколько основных принципов, которые позволяют получать оценки для дебитов в областях сложной формы без вычислений. Изложим некоторые из этих принципов и продемонстрируем на примерах, как ими можно практически пользоваться.

Основная задача теории пространственных напорных стационарных течений состоит в отыскании поля давлений р{х) в некоторой пространственной области D, внутри которой задано поле проницаемости k(x), а на границе С области D задано либо давление р, либо нормальная составляющая скорости фильтрации и„ (поток жидкости). Будем считать, что на части границы Ср задано давление, а на С, - поток:

р/СрР{х), UnlC = -k{dp/dn)/C = g{x). (11.37)

Здесь Р(х), 9 (л:) - заданные функции. Внутри области D давление и скорость фильтрации удовлетворяют, как было показано выше, системе уравнений :

V« = 0, и = - (й/х) VP, (П.38)

откуда можно получить уравнение для давления

у(ад = 0. (11.39)

Вариационные принципы. Рассмотрим интеграл по области D

А = I(©v=f)dV, (И.40)

где V и f - произвольные векторное и скалярное поля, обладающие достаточной гладкостью. Если векторное поле v солено-идальное, т.е. удовлетворяет условию у© = О, то, используя формулу Остроградского - Гаусса, получим

А = iMdS - UvdV = lvnfdS. (И.41)

В частности, подставляя р вместо ? и и вместо v, получим

A==U4VP)dV = pundS. (И.42)

1 В ЭТОМ параграфе для сокращения записи используется оператор вектор» ного дифференцирования иабла: у? = grad f, уи = div и.

Здесь .fpUndS - работа, совершаемая в единицу времени внеш.-

ними силами давления, на вдавливание жидкссти внутрь выделенного объема.

Подынтегральное выражение в левой части уравнения (П.42) характеризует энергию, затрачиваемую на работу жидкости в единице объема среды на преодоление сил трения, и потому представляет собой плотность диссипации энергии - количество энергии, переходящее в тепло в единице объема пористой среды. В целом соотношение (11.42) выражает собой тождество полной диссипации: вся работа внешних сил над жидкостью в элементе пористой среды переходит в тепло. Это тождество верно для произвольного фильтрационного течения несжимаемой л<идкости и для стационарных течений сжимаемой жидкости.

Определим для векторного поля и и скалярного поля р положительные функционалы X и Y:

X = \lk-u4V; Y\lkv.-\P?dV. (11.43)

Можно установить следующие утверждения.

1. Из всех соленоидальных векторных полей v, удовлетворяющих в точках части границы Cq условию

n\cq = q, (И.44)

решение и («истинное поле скоростей фильтрации») выделяется тем, что минимизирует функционал

X*[v] X[v\ + lpVndS, (П.45)

называемый полным потенциалом диссипации.

2. Из всех скалярных полей ?, удовлетворяющих условию на Ср

9\ср = Р, (П.46)

решение р («истинное поле давлений») выделяется тем, что минимизирует функционал

F*[?] = KW + bWS, (П.47)

называемый полным дoпoJ.нитeльным потенциалом диссипации.

Докажем первое из этих утверждений. Пусть и - решение, а V - пр оизвольное поле, удовлетворяющее граничному условию (П.44) и условию соленоидальности. Тогда

X*[v]- X* [И1 = IЫк) {V -u)dV - jp {Vn - ««) dS =

= (v - u) (v + u)dV ~p(v - u)ndS>

2 Cp

> f (}x/A;) (V - u) udV - p (v - u) ndS =

D Cp

= - {v - u)pdV-~]p{v-u)ndS. (11.48)

D Cp