Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 [ 48 ] 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68

Заметим, что при So = вблизи k = c amc<sl2Yt, т. е. «истинная» скорость впитывающейся фазы U\lmo при а -у О остается конечной.

В задачах двухфазной фильтрации в трещиновато-пористых средах (см. ниже) используется функция, выражающая зависимость средней насыщенности пропитывающего блока пористой среды от времени. Чтобы получить эту зависимость, следует решить задачу о пропитке образца конечной длины. Если начальная насыщенность So < S,, скорость «фронта пропитки» Хс конечна, то до подхода его к непроницаемой границе х = L мсжно использовать автомодельное решение s(). При этом средняя насыщенность

s- \sdx= + КУт (т < с-2), (IV.99)

"о

K(s°, so) = (s~So)dl nV.lOO)

Чтобы получить приближенное решение для моментов времени / > 4, воспользуемся методом интегральных соотношений. Проинтегрировав уравнение (IV.91) по от О до L, получим

аФ (5°) (ds/dx)o = Us/dt. (IV. 101)

Будем искать распределение s в виде (с учетом условия при х=Ьу.

s=s°~2x (2L - X) (s° - s)/3L. (IV. 102)

Тогда из (IV. 101) получи.м

ds/dt = ЗаФ(5о) (s° - J)/L. (IV. 103)

Интегрируя уравнение (IV.103) при условии, что =4 и решение совпадает с (IV.99), получим окончательно

S = 5° - (5° - So - К/с) ехр [-ЗФ (5°) (т - Тс) ] (IV. 104)

при т > Тс = £-2, где z = at/L. Зависимость s(x), соответствующая формулам (IV.99) и (IV. 104), приведена на рис. 48.

Модель вытеснения в средах с двойной пористостью. Полученные ранее соотношения, характеризующие капиллярную пропитку, используются для построения модели вытеснения нефти водой в средах с двойной пористостью, т. е. состоящих из областей с проницаемостью k\, в которых имеются включения с проницаемостью 2 С i- При движении вытесняющей воды по водопроницаемым зонам малопроницаемые блоки оказываются окруженными водой, и нефть из них извлекается путем противоточной капиллярной пропитки.

Ограничимся здесь только случаем трещиновато-пористых сред, общая характеристика которых приведена в § 4 гл. III, и воспользуемся гипотезами модели фильтрации в трещиновато-по-

ристых средах (см. рис. 34). Иначе говоря, предположим, что емкость трещин намного меньше пористости блоков, а проницаемость блоков, напротив, пренебрежимо мала по сравнению с проницаемостью системы трещин. Вода движется по системе трещин, впитывается в пористые блоки, вытесняя нефть. Поступающая из блоков нефть движется далее по системе трещин.

Пренебрегая непосредственным переносом жидкости по блокам и емкостью трещин, уравнения неразрывности в каждой из систем двойной среды можно получить в виде

div ui + q = 0, mds/dt-~g = 0, (IV.105)

где «1 - скорость фильтрации вытесняющей фазы; s - насыщенность Б блоках; д - интенсивность обмена жидкостью между трещинами и блоками, определяемая скоростью капиллярной пропитки.

В принятой модели с момента подхода воды к блоку на его границе мгновенно устанавливается максимальное значение насыщенности S*, соответствующее Рс = 0. Тогда интенсивность пропитки и обмена жидкостью между фазами зависит только от времени нахождения данного элемента или блока в обводненной зоне.

В одномерном случае система (IV. 105) примет вид

диi/dx+g = 0, mdsldt~д = 0. (IV. 106)

Введем, следуя Ю. П. Желтову, В. Л. Данилову и А. А. Бок-серману, неизвестную функцию о() -время прохождения фронта воды Б трещинах через точку с координатой х. Тогда интенсиБ-ность перетоков д в уравнениях (IV. 108) будет функцией времени нахождения блока в зоне за фронтом / - to{x) - x. Вид функции д (z) может быть установлен, например, исходя из выражения для пропиткиодного элемента (IV.104). д (х) должно быть пропорционально ds/dz, т. е.

<7 = /V, (/т)-/2, т < Тс-,

av 107

9=(/l2)exp(-b/0, т>т„ >

где Л], Л2 и Х - постоянные.

Выражение (IV.107) получено из приближэнной формулы (IV. 104). Болег удобно использовать для д (х) единую аппроксимацию для всех x, например, предложенную Э. В. Скворцовым, формулу

9(т) = Лз-VKt. (IV. 108)

Постоянные Лий подбираются так, чтобы ближе соответствовать формулам (IV. 107) или экспериментальным данным.

Рассмотрим одномерную задачу вытеснения нефти водой из трещиновато-пористой среды для модели, описываемой системой (IV.106). Проинтегрируем первое из этих уравнений от = О до фронта воды X =Хо (t) = /(/).

xjt) t

"i(0= g[t-Tix)]dx = g(t-T)r(T)dT. (IV.109)

Если задана скорость вытеснения при х=0 U\ (t), то, решая интегральное уравнение (IV. 109), можно найти скорость продвижения фронта f (t) и обратную функцию to{x).

Тогда из второго уравнения системы (IV. 106) найдется распределение насыщенности в блоках

s-so=~f%Wrf- (IV.110)

правая часть уравнения (IV. 109) имеет вид свертки, и оно может быть решено методом преобразования Лапласа. Пусть U(К), Q(k) и W (\) - преобразования Лапласа функций u\{t), q{t) и f(t) соответственно. Тогда из (IV. 109) получим, пользуясь теоремой о свертке и условием / (0) = О,

(Х) = f/(X)/XQ (X). (IV.Ill)

Пусть q {t) Еыргжается формулой (IV.1C8) и м «о = const Тогда

{\)=иоУ\ть1ау\. (IV. 112)

В результате по таблицам преобразования Лапласа можно найти

f{t) = (ыоЛ4 У) (1 + 2Ы) erf {УЫ) + {2ujA УЩ (1 + е-*),

(IV. 113)

/ Щ = (2мо уь1а У) erf {УШ). (IV. 114)

Из формулы (IV. 114) следует, что при t-co скорость перемещения фронта

F = 2ыо Р /и. (IV.115)

Если /() = У = const, то в соответствии с формулой (IV. ПО) получим

S = So + (5° - So) erf {УЬ {t - x/V)). (IV. 116)

Таким образом, s есть функция х-Vt, т.е. при /оо распределение насыщенности приобретает вид бегущей волны.

Все изменение насыщенности от so до s° происходит в зоне, перемещающейся с постоянной скоростью, протяженность которой имеет порядок uol/a. Эта зона по аналогии с рассмотренной выше зоной вблизи скачка при обычном вытеснении получила название стабилизированной. Однако в отличие от зоны, описываемой уравнениями (IV.71) или (IV.72), протяженность стабилизированной зоны пропорциональна «о, а не а. Для трещиновато-пористой среды капиллярные силы оказывают стабилизирующее влияние на процесс вытеснения. В случае однородной среды капиллярные силы вызывают диссипацию («размазывание») фронта вытеснения (см. § 4 данной главы).