Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 [ 42 ] 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68

членом, содержащим s, можно пренебречь, т.е. записать вместо (IV.28)

dsldt - div [/i (s) grad П] = 0. (IV.29)

Чтобы исследовать общие свойства поля насыщенности на основ уравнений (IV.27) и (IV.29), последние удобнее переписать в размерном виде

divB=-0; в = -(cp(s)/!i,i)gradp, (IV.30)

ms/a/+ F(S) (в grad s) = О, (IV.31)

где в = »i + Вг - суммарная скорость фильтрации обеих фаз. Система уравнений (IV.27) и (IV.29) эллиптического типа относительно давления и гиперболического - относительно насыщенности. Для уравнения (IV.31) можно получить семейство характеристик, на котором выполняются соотношения

dxidt = uF {s)lm, dy/dt = vF (s)/m, (I V.32)

dz/dt = wF (s) /m, ds/dt = 0.

Соотношения (IV.32) при заданном мгновенном поле скоростей можно рассматривать как уравнения распространения точек с постоянной насыщенностью. Рассмотрим поверхность Г с постоянным на ней значением насыщенности s (так называемую изосату), уравнение которой ф (х, у, Z, t) = 0. Тогда из (IV.32) следует

У„ = (д/дЩд/дп) = UnF (s)/m, (I V.33)

где Vn - скорость перемещения изосаты по нормали к ней; и„ - проекция суммарной скорости фильтрации на нормаль к изосате.

В задаче о вытеснении несмешивающихся жидкостей в системе скважин или галерей граничными условиями для уравнений (IV. 30) и (IV. 31) являются, во-первых, обычные условия для давления, задаваемые на скважинах или галереях при движении несжимаемых жидкостей (см. гл. II), и, во-вторых, условия для насыщенности на нагнетательных скважинах или галереях. Когда нагнетается чистая вытесняющая фаза, насыщенность на контурах нагнетания должна, очевидно равняться максимальной s*. Кроме того, для насыщенности должно быть задано начальное распределение s{x, у, г, Q)=f{x, у, z).

Уравнения (IV.32) означают, что при заданной скорости фильтрации скорость распространения насыщенности s пропорциональна производной функции Баклея - Леверетта F(s). Типичные кривые относительной проницаемости как для смачивающей, так и для не-смачивающей фазы вогнуты к оси s, вследствие чего функция F(s), равная тождественно нулю при s<s и единице при s>s*, имеет точку перегиба, а функция /="(s)-максимум (см. рис. 37). Поэтому в соответствии с формулами (IV.32) большие значения насыщенности вытесняющей фазой s (на рис. 38 слева) могут «обгонять» меньшие (на рис. 38, начиная с Г = 0,5), вследствие чего появляются поверхности разрыва (скачки), при переходе через которые насыщенность меняется на конечную величину.

Появление скачков насыщенности связано с пренебрежением членом со старшей производной в уравнении (IV.28). Скачками насыщенности аппроксимируются области, внутри которых велик Igrad s, и поэтому нельзя пренебрегать последним членом уравнения (IV.28). При точном решении (IV.28) вместо скачков возникают узкие области с быстро меняющейся насыщенностью. Асимптотическому исследованию распределения насыщенности в этих зонах посвящен следующий параграф.

Прежде чем исследовать формирование и эволюцию скачков насыщенности, выведем соотношения, выражающие условия сохранения массы и давления на них.

Пусть скачок насыщенности проходит через цилиндрический элемент пористой среды объемом 2, вырезанный по нормали к поверхности скачка и ограниченный участками поверхностей S, параллельных поверхности скачка, находящихся на расстоянии Дл от нее. Условие сохранения массы первой фазы в элементе имеет вид

Uind<:s = 0.

(IV.34)

Далее

d (Imsd)/dtmVnc{s--s+) Ц + 0 (IV.35)

Где S-, s+ - соответственно насыщенности за и до скачка; R - радиус кривизны поверхности скачка; Vnc-скорость перемещения скачка по нормали к нему. Разность потоков вытесняющей жидкости через сечения, параллельные поверхности скачка, равна («Г -«it)S где, Win - проекция скорости фильтрации первой фазы на нормаль к поверхности скачка. Поток, связанный с касательной составляющей, исчезающе мал при стремлении Дл к нулю. Тогда условие сохранения массы первой жидкости при стягивании элемента Q к участку поверхности примет вид

Vnc{urn~utn)/m{s--s+). (IV.36)

Условие сохранения массы второй жидкости с учетом (IV. 36) сводится к условию непрерывности нормальной составляющей суммарной скорости фильтрации при переходе через поверхность разрыва:

«1« + «2n = ut = Un.

Из (IV.30) и (IV. 17) нетрудно получить

«, = F{s) и, И2 = (1 - F{s)) и. (IV.37)

Эти формулы показывают, что по физическому смыслу функция Баклея- Леверетта F(s) выражает долю первой фазы в потоке (при пренебрежении капиллярными силами). Подставляя их в (IV.36), имеем

РИС. 38. К формированию неоднозначного распределении насыщенности к задаче Баклея - Леверетта

Vnc = [F{s-) - F (s+)] Unim (s- - s+). (IV.38)

Кроме условий (IV.36) на скачке должно выполняться условие непрерывности давления, которое сводится к следующим соотношениям:

(дрЩ- = {др1дЬ)+; uV/u = ср (S+) /ср (S-), (IV.39)

где & - направление по касательной к поверхности скачка; ы» - проекция скорости фильтрации на это направление. Различие касательных и сохранение нормальных компонент скорости фильтрации приводит к излому линий тока при переходе через скачок.

Рассмотрим подробнее возникновение и распространение скачка в одномерном случае, когда вместо уравнений (IV. 30) и (IV. 31) имеем

mdsldt + uF (s) dsjdx = 0; u = u (t). (IV.40)

Пусть начальное распределение насыщенности монотонно So(x)<0. Из (IV.32) получим решение уравнения (IV.40) в виде

x = XQ{s) + UF{s)/m; U = u(z)dz. (IV.4I)

Поскольку функция F{s) имеет максимум, формальное решение (IV.41) при достаточно больших временах становится неоднозначным, фактически же в момент t, когда касательная к кривой s (х, t), определяемой формулой (IV.41), становится вертикальной, возникает скачок насыщенности. Из формулы (IV.41), записанной для насыщенности на скачке s- = Sc, получим, дифференцируя по t:

dxc/dt = luF{Sc)]/m + [t/F"(s,) + xo (Sc)] dsjdt. (IV.42)

Далее, приравнивая (IV.42) выражению для скорости скачка (IV.38), получим дифференциальное уравнение для насыщенности на скачке s:

dsJdt = и [F{Sc) - f (So) - Fisc) (s, - So)]/ (Sc - So) lUF"{Sc) +

+ mxo{Sa). (IV.43)

Чтобы определить значение So = s+, входящее в уравнение (IV.43), нужно использовать условие х (Sc) = х (so) или

UFiSc) + тхо (S,) = UFiso) + тхо (sq). (IV.44)

Из уравнения (IV.43) следует, что если насыщенность на скачке при его распространении остается неизменной, то она должна удовлетворять соотношению

FiSa) = [F(Sc) ~ f (So)] / {Sc - So), (I V.45)

впервые полученному Баклеем и Левереттом. Оно означает, что скорость распространения стационарного скачка равна скорости распространения насыщенности на скачке -см. (IV.33) и (IV.38). Уравнение (IV.43) для Sc = S- получено С. Н. Бузиновым И. А. Чарным.

Условие (IV.45) допускает простую геометрическую интерпретацию на плоскости переменных F, s: значение Sc находится как точка