Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 [ 37 ] 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

Таким образом, с ростом размерности пространства растет вклад средней Проводимости и убывает вклад гармоничества проводимости в эффективную проводимость.

Вернемся к рассмотрению двумерных полей. Пусть поле о изотропно и двухкомпонентио, т, е. я в различных точках пространства принимает значения at или 02 соответственно с вероятностями Р н I-Р. Если положить (i/fis=cicj8, то штрихованное поле будет отличаться от исходного тем, что в,подобластях постоянства параметров произойдет замена aia. При этом, очевидно, -р, т. е. концентрация первой компоненты станет равной 1 - р. Если исходная среда макроскопически изотропна, то и штрихованная также будет изотропный. Легко понять, однако, что 3aBHCH.\iocTb эффективной проводимости от концентрации одной нз компонент для основной и штриховгн,10й систем могут быть различными. Например, если основная система матричного типа, то справедливость такого утверждения очевидна. Учитывая это обстоятельство, для изотропных систем матричное равенство (6.38) перепишем в виде функционального уравнения

з,(Р)в;(1 -Р] =aiaa. (6.58)

при этом под о] понимается эффектиЕная проводимость исходной системы, под аг - эффективная проводимость штрихованной системы.

Если исходная система такова, что указанная транспозиция не меняет эффективной проводимости системы, и, следовательно,

о](Р)=>2{Р) = я{Р).

из (6.58) имеем

с(Р)а{1-Р) =о,ог. (6.59)

Пусть теперь Р = 1/2, Тогда из последнего уравнения имеем точный результат

а (1/2) = К=Гаг- (6.60)

Таким образом, сушественная симметрия случайного поля дает возможность получить точное соотношение (6.60). Доказано, что это равенство имеет место и лля регулярных систем типа «шахматной доски», белые и черные поля которой имеют проводимости oi и 32.

Несложные рассуждения показывают, что прн ai = О и Р> 1/2 эффективная проводимость а = О, т. е. концентрация Р = 1/2 является критической.

Легко проверить, что оба случая, для которых удается получить решение задачи об эффективной проводимости, фактически различаются только значением постоянной 6 = Va/fi, для которой распределения 0/6 и Ыа идентичны. Ими исчерпываются известные точные решения задачи об эффективных параметрах. Кажется заманчивым использовать соотношение (6.59) для получения приближенных решений, рассматривая его как функциональное уравнение

Далее получены ловольно простые соотношения и дается сравнение расчетных показателей с результатами математического эксперимента по прямому определению эффективных параметров численными методами.

Итак, рассмотрим двухкомпонентную гетерогенную среду и пусть для определенности ог > # 0. Введем новую переменную и = Р - ~ 1/2. Поскольку Р=]/2 и и = 0 - критическая концентрация, можно без ограничения обишости считать, что а(и} = а\ при и<0 и

о (и) = 32 (К) при I/ > О, где а/ - различные, вообще гоюря, функции. Будем Предполагать, что они аиалнтичиы, т. е.

а] (и) = an + а,и + a2u + ..., и < 0. (6.61)

<jj (и) = &о + biu + Ьи + . .ы > 0.

Естественно, при и-=0 функции oJ (0) = ог (0) = ]/ -30г и, следовательно, Оо = 6п = Voie?. Из соотношения (6-59) вытекает, при

и>0

а, (-и) ai (и) = 0о2 (6.62)

(Йо - QiU + OzU- ...) (bo+blU + bzU + ..) = 6ia2, (6.63)

что e учетом значений oo и 6 даст

и (cn6i - й6о) + (oo&s-ai6i +а2бо) + -.. = 0. (6.64)

Приравнивая нулю коэффициенты при и", получим бесконечную систему уравнений

ао&1 -а6о = О, Добг - а6 + аг6о = 0, ... (6.65)

Очевидно, число неизвестных превышает число уравнений, как и должно быть, поскольку соотношение (6.62) содержит две неизвестные функции. Однако, если в разложениях ограничиться небольшим количеством членов и, кроме того, привлечь независимо полученную информацию об этих функциях, задачу определения о) можно сделать разрешимой единственным образом. В качестве такой информации можно использовать соотношения oJ (1/2)=б2, а! (1/2) = ai, а также X, - значения производных dat/du в точках и = ±1/2, которые можно вычислить независимо, например методом возмущений в приближении малой концентрации и т. д. Стоит подчеркнуть, что задание а, (и) сразу в двух точках не является излишним, поскольку соотношение (6.69) прн урезании бесконечной системы (6.65) будет выполнено лишь приближенно.

Пусть в, аппроксимируется кубическими параболами. При и>0 с1 (II) = Оо - 0Ц -Н ази - азц\ (6-65)

08 (и) = Ьо+ 6Н + biU -\- бзы*.

Используя найденные ранее значения ап. Ьа и условия при и = = ± 1/2, получим уравнения

I , 1

- уй, + ja? - -g-а.я = "1 - V

0103,

-2&I + js Од = 3, - Voioj. (6.67)

- а, + 02 - jag = X,

&l + &9 + &3 = ).2.

Система состоит из четырех уравнений с шестью неизвестными. Для замыкания системы используем два соотношения из (6.65)

К2<& -й) =0. (6.68)

V<\°i (Ь?. + аг) - = 0.

Поскольку мы предположили аналитггчность о* (и), использование двух уравнений из (6.65) обеспечивает выполнение равенства (6-62) с погрешностью О(и). Отметим, что из первого уравнения (6.68) при о, ФО следует а, = Ь\. т. е, в точке и = О функции з* не только равны, но и гладко «склеены».

Решив уравнения (6.67) и (6,68), найдем а/, 6(, а с ними и искомые зависимости.

Для простоты рассмотрим случай, когда oj аппроксимируется линейной зависимостью. Тогла а = йз =; О и из первого уравнения (6.67) следует щ - 2 Vaio - а\. Третье уравнение из (6-67) следует исключить из рассмотрения, а из системы (6-68) исключить второе-Решив оставшиеся уравнения, получим

а, =& =2(К,-о,); &2= 12(К-V- 2Х +

+ 4 iV2 ~<ч); 6з = 4Х - 16 (V2 -V~8 (V - 3,).

Для вычислений необходимо задать Х(з,, 33). Для этого используем решение задачи об эффективной проводимости среды прово* димости «2, Б которой имеются включения проводимости 3,, причем концентрация включений мала. Для включений круговой формы, следуя 17, из (6.10) можно получить

2о (а, ~аЛ

и, следовательно.

2о, /о, - а,)

Результаты расчетов эффективной проводимости приведены в табл. 14, где прелетавлеиы функции з) = з/г в зависимости от и и параметра з = oj-j. Там же для каждого и приводится величина 118