Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 [ 56 ] 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

Таким образом, если в сингулярном приближении поля v, и, как

следствие, т являются кусочно-постоянными, вариационный метод построения границ, развитый Хашиным и Штрикманом. предполагает кусочное постоянство только поля т. К сожалению, остается неясным, насколько широк класс полей, для которых такая аппроксимация пробных полей X допустима. Можно лишь утверждать, что не Существует реальных изотропных полей, для которых поле

т внутри включения постоянно. Исключением в данио.м случае является единственное изолированное включение в виде эллипсоида, находящееся в неограниченной однородной среде. Как известно, поля

V, h и. следовательно, х внутри такого включения постоянны. Однако вне включения они переменны. Лишь специальный выбор <)„

позволяет получить кусочно-постоянное поле t в случае одного включения. С)чевидно, если включение не единственно, истинное

поле -с внутри включений не постоянно. Отсюда следует вывод, что среди систем со многими включениями отсутствуют системы, для которых реализуется точно предположение о кусочном постоянстве

поля X. Поэтому нельзя быть уверенным, что границы Хашина - Штрикмана физически реализуемы, как это имеет место, например, в случае вилки I или вилки П для двумерных сред. Это обстоятельство делает в принципе возможным сужение вилки Хашина - Штрикмана для трехмерных неоднородных систем.

Хотя метод Хашина-Штрикмана не дает ответа на вопрос: каковы точные границы для эффективной проводимости любых изотропных сред, вилку, даваемую методом, можно считать приближенной и использовать для оценок, ве требующих большой точности. Располагая вилкой (о-, а+), можно, если это необходимо, конструировать приближенные решения. В работе [37] даются такие рекомендации.

Если связность компонентов одинакова, то в качестве приближенного значения о* можно взять

о* = а+(Р) + о- (Р)]/2.

Для изотропных матричных смесей рекомендуется принять с* = = 3+ (Р), если проводимость матрицы больше проводимости включений, и о* = з-(Р) в противном случае. Если ни один из компонентов не является односвязным, но связности их различны, для оценки а* можно принять а* = о+ (Р) а- (P)].

На рис. 43-50 представлены вилки 1 и И для двухфазных двумерных и трехмерных систем проводимости о, =о и 02= I в зависимости от Рг = Р, и.чменяюшемся в интервале 0<Р < 1. На этих же рисунках штрих-пунктиром нанесены результаты расчета самосогласованной эффективной проводимости. Нетрудно проследить следующую тенденцию. Если неоднородность не

(? Й5 D

рнс. 43. Варнэцнонные границы эффективной проводимости (я = 0,2).

( -гринниы 1: 2 - границы II; а~ слмосоглэсованнвя эффективная ароводн-мосгь

Рис. 45. Варнационные границы эффективной проводимости изотропной авухфазной плоской системы (з = 10-=).

/ - л - ем, обозначения рНс. 43

Рис. 47. Варнаинонные Гранины эффективной проводимости изотропной двухфазной трехмерной системы (:= =0,2).

{-J си. оОсыначення рнс. 43

Рис. 44. Варнаинонные гры1ицы эффективной проводимости изотропно* двухфазной плоской системы (с = 10-),

/ - 3 - см. обоэначецня рнс. 43

Рнс. 46. Вариационные границы эффективной проводимости изотропной двухфазной плоскости системы (ч= = 10-).

1-3-at. обозначвння рис. 43

Рис. 48. Вариационные границы эффективной провоаимости изотропной двухфазной трехмерной системы {о= =10-1).

1-3-си, оСоэначення рнс. 43

Рнс. 49. Вариационные границы эффективной проводимости изотропной даухфазной трехмерной системы {<:= = 10-=).

/-J-см. обозначения рнс. 43

Рис. 50. Вариационная граница (верхняя) эффектианой проводимости изотропной даукфачной трехмерной системы (0=10-).

;-Э-см. ойоэначення рнс. 43

очень сильна (а>0,1), вилка II оказывается существенно уже вилки I. При сильной неоднородности границы, даваемые обеими вилками, очень щироки. Очевидно, как и должно быть в соответствии с теорией, самосогласованная эффективная проводимость лежит внутри вилок 1 и II. В самом деле, для получения самосогласованной эффективной проводимости в формулах сингулярного приближения метода перенормировок следует положить ос = а*. Но так как ai<a*<a2, то выбранное таким способом тело сравнения заключено между двумя телами сравнения проводимостей oi и ог, определяющими вилку П, лежащую внутри вилки I.

Интересный способ установления верхней границы для эффективной проводимости развит С. Прагером [46], изучившим макроскопически изотропные системы с включениями нулевой проводимости, приведем основные этапы рассуждений Прагера и окончательные результаты его анализа.

Пусть г (Г)-индикаторное случайное поле, равное нулю внутри включений и единице вне их. Очевидно, < г > = Р (доле проводящей области), а для момента

S (р) = < г (Г) г (г + р) > имеют место предельные соотношения

S (0) = Р. S(co) = рг. Будем искать минимум энергетического функционала

Е = <ЛоЛ >. о = ао2,

(6.307) (6.308)

(6.309)

(6.310) 175