Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 [ 42 ] 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

и является, очевидно, эффективной проницаемостью. Подставив

значение <б

>

при условии (6.123), получим

„ = во1 -Ы>/34]"- (6.130)

Аналогично в случае плоской

и одномерной задач)! соответственно

с-зо[1 +Dl%l]-K (6.131)

(6.132)

рис. 24. Зависимость безразмерной эффективной проводимости о/ов от коэффициента вариации проволнмост1г

Системы: / -одноиерная: 7 - плоская; 3 - трехмерная

Следует отметить, что хотя последние три формулы также являются приближенными, качественно они приемлемы во всем диапазоне изменения параметра D/ao. Нетрудно убедиться, что при малых значениях D/ao формулы (6.130) и (6.I3I) эквивалентны (6.121), (6.122). Длн этого достаточно разложить только что полученные соотношения в ряд по степеням D/oo и ограничиваться двумя первыми членами.

Нелишне отметить, что в предположении о логиормальном распределений проницаемости формула (6.132) является точной.

Степень влияния величины Dicl на относительную эффективную проницаемость о*/оо отражена на рис. 24, где кривые /, 2, 3 соответствуют зависимостям для одномерного, плоского, пространственного полей соответственно. Сильнее всего неоднородность среды влияет на эффективную проницаемость в случае одномерного течения. С повышением размерности пространства влияние неоднородности ослабевает, что связано с увеличением количества обходных путей для обтекания слабопроницаемых включений. В одномерном случае возможности обхода не сушест-вует, что и объясняет наибольшее отклонение о* от ас,.

КОРРЕЛЯЦИОННОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

ЭФФЕКТИВНОЙ ПРОВОДИМОСТИ АНИЗОТРОПНОГО ПОЛЯ

Существует точка зрения, подтверждаемая лабораторными и натурными наблюдениями, что реальные пористые среды анизотропны. С одной стороны, среда может быть анизотропна в «малом», но если анизотропные элементы перемешаны достаточно равномерно, то в «большом* такая среда будет изотропной. В практически интересных случаях, по-видимому, имеет место иная картина. Среда состоит нз изотропных элементов, характерные размеры которых по разным осям различны. Если проницаемость элементов флуктуирует, а сами элементы расположены в пространстве достаточно упорядоченно, то в «большом» такая среда будет

однородно-анизотропной. Предельным случаем такой модели являются слоистые среды.

Итак, рассмотрим неограниченный фильтрационный поток в среде с локально-изотропной проницаемостью, корреляционная функция которой, однако, анизотропна. Будем считать заданным

вектор средней скорости фильтрации <v> и разыскивать V<p>. Связь между ними позволит найти эффективную проницаемость среды, которая, очевидно, будет в этом случае не скаляром, а тензором второго ранга.

Рассмотрим случай, когда вектор средней скорости фильтрации

<[)> направлен вдоль оси лг, т.е. <у,>=«, <У;,> = О, <Уг> = = 0. Представив случайное поле в виде о = оо -f о, во = <о> = = const, будем искать решение в виде ряда р = ро -f Pi -f - - -, где ро удовлетворяет уравнению ooVpo = О при условии 1*4 = -ooVpo, что сразу дает

- = -Pti/oo, дро/ду = дро/дг = 0. (6.133)

Подставив выражение для о и р в усредненный закон Дарси

<v> <ovp> (6.134)

н ограничиваясь малыми втсого порядка, запишем

0 = o4<> + o<S, (6.135)

дрс, . др, дрп

Если учесть найденные ранее компоненты vpo. то из (6.135) следует

или несколько иначе

(6.137)

Теперь можно представить компоненты среднего градиента давления в виде

дх дц ор" • ду "о дг>- во

(6.138)

Остается вычислить моменты для чего следует задать конкретную ксреляционную функцию случайного поля я(г). Приме-132

ром может служить е-корреляционная функция, определенная так: коэффициент корреляции проводимости в двух точках иросгранства

г, и Г2 равен единице, если одновременно выполнены неравенства \Xi-X2\<s,, !(/[ - (/г < «г, 2 - 2г < S3,

и равен нулю, если хотя бы одно нз них не выполняется.

Обратившись к четвертому разделу из главы 5, где эта корреляция подробно рассмотрена и отмечена ее условность как аппроксимации истинных корреляционных функций, запишем

о * J J J

°Xidx2dx3, г =xi + Х2 -\- xl.

(6.139)

-f, -s, -

что дает после вычислений

1+? arctg

<dpldy> = 0, <др1дг> = 0. Из последних формул следует, что вектор < Vp >

(6.140) коллинеа-

реи вектсу <у>, а это означает, что оси х, у, г являются главными осями тенз<а эффективной проводимости и тензора, обратного ему Из (6.140) получим для первой компоненты тензса о*

"l+,arctg

з„ = во

(6.I4I)

Направляя вектор <v> по другим двум осям, получим аналогично

I Ч--rrctg

arctg

+ ч + ч

(6.142) (6.143)

Уместно заметить, что если при постановке задачи считать заданным градиент среднего давления, то вместо формул (6.I4I), (6.142), (6.143) для главных значений тензора эффективной проводимости получаются выражения, вытекаюшие из только что полученных разложением в ряд по степеням D/oo с удержанием в ряду двух первых членов. В этом случае при достаточно больших значениях параметра Djat мы получили бы качественно неверные результаты. Формулы (6.141), (6.142), (6.143) свободны от этого недостатка.

Итак, приведенный к главным осям тенз< эффективной проводимости имеет вид

/о« О О

(6.144)

О чО