Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 [ 24 ] 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

Выполним условия на границах:

р = Рс при г = Ге, р = Рк при г = г. (2.10)

Здесь Pj - давление в скважине, а р - давление на контуре питания.

В результате получаем

-=-. (2.11)

Рк-Рс IjiJA.

При перепаде давления Ар = Рк ~ Рс из радиального пласта добывается жидкость с расходом q. На фильтрующей поверхности скважины имеем

9 = - Л-)г.г, (2.12)

где h - мощность (толщина) пласта.

Поскольку (jV , Рк-Рс (2.12) получаем формулу

\аг /"""с £к Гс

Дюпюи:

2nfefe Рк-Рс ,2.13)

При применении формулы Дюпюи к реальным скважинам часто получается большое несоответствие между расчетными и фактическими величинами расходов жидкости q. Это объясняется наличием вблизи реальных скважин повышенных, а иногда пониженных фильтрационных сопротивлений, обусловленных естественным или искусственным изменением сообщаемости ствола скважины с пластом в результате загрязнения пласта при бурении скважины, пластической деформации пород, недостаточной перфорации обсадной трубы, воздействия на прискважинную (призабойную) зону пласта и т. д. В нефтегазопромысловой литературе изменение проницаемости пласта вблизи скважины часто называют эффектом «несовершенства скважины» или «скин-зффектом», который учитывают, вводя в формулу Дюпюи «эффективный» радиус скважины. На практике бывает, что отношение эффективного радиуса скважины к фактическому составляет величину, изменяющуюся примерно от 102 до 10" ь.

При центрально-симметричной фильтрации уравнение (2.13) имеет вид:

=f+4=0. (2.14)

Его решением является выражение

P = - + Ci, (2.15)

где С и Ci - постоянные интегрирования.

Допустим, что фильтрация происходит в пласте между двумя концентричными сферическими поверхностями. Если на одной поверхности, имеющей радиус г, давление р = р, а на другой р = = р при г = г, то распределение давления в пласте будет выражаться формулой

1 1

(2.16)

Р -Рс Рк -Рс

Интересно, что в случае центрально-симметричной фильтрации давление может иметь конечную величину при бесконечном радиусе внешней среды. Это видно из формулы (2.15). В случаях же прямолинейной и радиальной фильтрации давление становится бесконечным при стремлении к бесконечности расстояния между галереей или скважиной и контуром питания. При

оо из (2.16) получаем

р -Рс

(2.17)

Рк -Рс

Расход д жидкости, фильтрующейся в пласте между двумя сферическими поверхностями, определяется формулой

Рис. 41. Скорость фильтрации i; и ее проекции

Рк -Рс

(2.18)

Из сопоставления формул (2.13) и (2.18) видно, что расход жидкости при прочих равных условиях в случае радиальной фильтрации растет пропорционально (In г/Гс)~, т. е. сравнительно медленно, а при сферической фильтрации - быстрее (пропорционально г).

Рассмотрим теперь двумерную фильтрацию. Уравнение фильтрации (2.3) принимает вид:

dip dip

= 0.

(2.19)

Если ввести потенциал фильтрации Ф, причем Ф =

Vu = --, где Vx, Vy - скорости фильтрации

"Ot "у ---Щ-! дс fi и у - илирииш цилы рации ВДОЛЬ

соответствующих осей, то из (2,19) получим уравнение для потенциала

"%=0. (2.20,

Введем представление о линиях тока и линиях равного потенциала. Линии тока - это линии, касательные к которым в каждой точке совпадают по направлению с вектором скорости фильтрации

в данной точке. Линии равного потенциала или эквипотенциали - линии, на которых потенциал течения остается постоянным. Согласно рис. 41 имеем формулы

cosa = - = -, cosP = -rfi-=-, (2.21)

v\ - модуль вектора скорости фильтрации. Йз (2.21) получаем дифференциальное уравнение линий тока

v.dx-vxdy = 0. (2.22)

Vx Vy

Пусть уравнение линий тока выражается в виде:

4(3;, г/) = const. (2.23) Учитывая (2.22) и (2.23), имеем

dT = -g-dx + 4-dj/ = 0; (2.24)

dy-dxO. (2.25)

дх " ду Из сравнения (2.24) и (2.25) получаем

дФ д дФ д¥

дх ду ду дх

(2.26)

Если теперь ввести в рассмотрение функцию комплексного переменного F (z) = Ф i, то уравнения (2.26) можно считать условиями Коши - Римана. Таким образом, каждой аналитической функцией комплексного переменного F (z) описывается определенное установившееся течение в плоскости х, у.

Методы функции комплексного переменного нашли широкое применение в плоских задачах теории фильтрации благодаря работам Н. Н. Павловского [89], П. Я. Полубариновой-Кочиной [931 и др.

Плоские течения в пластах рассматривались с использованием функций комплексного переменного В. П. Пилатовским [90]. Прежде всего рассмотрим функцию

F{z) = lnz. (2.27)

Непосредственной проверкой можно легко убедиться в том, что вещественная и мнимая части этой функции удовлетворяют условиям (2.26) и, следовательно, эта функция является аналитической. Из (2.27) получаем, отделяя мнимую и вещественную части,

ф=.1и{х + у)/, W = aTctg±. (2.28)