Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 [ 8 ] 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

а вязкостными силами можно пренебречь. Из уравнения (5.13) в данном предельном случае получаем

Р-г = 0. (5.19)

Для решения уравнения (5.19) осредним величину р но высоте зазора W и обозначим через / среднее но высоте зазора значение /. Для того чтобы произвести это осреднение, необходимо знать функцию / (z). Зададимся приближенно видом функции / (z), определенным формулой (5.15). Тогда с учетом (5.17) получим

ff,2 0.25g2 .

(Г) = . (5.20)

Поскольку, как это видно, из (5.20), способ осреднения функции / сравнительно мало влияет на ее величину, примем в качестве среднего значения величину q/in. Интегрируя уравнение (5.19) и выполняя условие р = ро при г = го, получаем следующую формулу для распределения давления:

Как видно из формулы (5.21), инерционное течение жидкости между параллельными плоскостями возможно и при бесконечно большом внешнем радиусе, т. е. при г оо с конечным перепадом давления.

Если использовать предположение о параболическом распределении скорости у, но вертикали, можно получить формулу для изменения давления жидкости но радиусу, учитывающую как вязкостные, так и инерционные силы. На основе тех же предположений, что и при выводе формул (5.18) и (5.21), получаем для данного общего случая формулу

Проведем расчеты но формуле (5.22). Допустим, что q = = 1000м/сут = 1,16-10* см8/с, р = 10»кг/м8, р = 1сПз«* 10-е кг-с/см2, г = 100 м. Го = 0,1 м, и; = Ю см.

Вычислим величину " в соответствии с формулой (5.22).

Первая из величин, стоящих в правой части формулы (5.22), т. е.

-In -, будет при принятых выше значениях параметров равна 13,2.

Вторая же величина

Таким образом, в данных условиях как вязкостные, так и инерционные силы вносят примерно одинаковую долю в величину перепада давления. Если увеличить вязкость жидкости, например, до 1 Пз, то вязкостные силы будут значительно превосходить инерционные. Важно отметить, что перепад давления от вязкостных сил растет пропорционально расходу жидкости, а от инерционных - пропорционально квадрату расхода.

§ 6. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

При решении плоских задач гидродинамики и теории упругости применяются методы теории функций комплексного переменного. В этом параграфе даны некоторые основные сведения из теории функций комплексного переменного, необходимые для понимания помещенного ниже материала.

Функция комплексного переменного

2 = х + гу, 1 = /=Л (6.1)

обозначается

f(z) = u(x, y) + iv{x, у). (6.2)

Эта функция является дифференцируемой (аналитической) в точке Z, если удовлетворяются условия Коши - Римана:

ди dv ди dv .„ „.

~д~ 17* ("-

Возьмем в качестве примера функцию

f(z) = z = x-y + 2xyi; (6.4)

и = х-у, v = 2xy.

Эта функция является дифференцируемой, что легко проверить, подставив (6.4) в (6.3). Функция же

f{z)=\z\=\rx + y% uYx-y, v = 0 (6.5)

не является дифференцируемой, что также легко проверяется при подстановке (6.5) в (6.3).

Если продифференцировать первое условие (6.3) по х, а второе по у и сложить ползгченные равенства, то получим

"=0. (6.6)

Аналогично ползчаем

+ = 0- (6.7)

Следовательно, как вещественная, так и мнимая части аналитической функции удовлетворяют уравнению Лапласа.

Обозначим теперь = / (z). Пусть / (z) является аналитической однолистной функцией в некоторой области D комплексного переменного Z и имеет в этой области отличную от нуля производную. Однолистной функцией называется такая функция, для которой каждой точке из области D комплексного переменного z соответствует единственная точка в области Z) комплексного переменного t,. Аналитическая функция 2 = / (z), обладающая описанными выше свойствами, осуществляет конформное преобразование области D в область называемое так по той причине, что в каждой паре соответствующих друг другу точек zo и областей D т сохраняются углы между двумя бесконечно малыми от-резками, выходящими из

точек Z0 и 0. Точки, где Х-

производная g (z) = О, являются точками разветвле- / а f(a) ния.

Рассмотрим в качестве примера функцию Н. Е. Жуковского

~т("т)* { Рис. 13. Область комплексного переменного О

Эта функция переводит окружности области комплексного переменного t, в эллипсы области комплексного переменного z. В самом деле, полагая t, - ре*, получаем, отделяя мнимую и вещественную части функции (6.8),

(6.9)

Окружности р = const в плоскости t, переходят в эллипсы плоскости Z, уравнение которых имеет вид:

(6.10)

Как видно из (6.10), окружность р = 1 области t, переходит в бесконечно тонкую щель области z, так что точки на окружности р = 1 переходят в точки на границе щели с координатами х = cos О, у = 0. Точки X = ±i являются для функции Н. Е. Жуковского точками разветвления, поскольку из них выходят две линии, ограничивающие бесконечно тонкую щель.

Интеграл в области комплексного переменного z определяется как интеграл вдоль некоторой кривой L, заданной в этой области, так что

F(z) = ] i(z)dz.

(6.11)