Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 [ 50 ] 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124

в) 9? (в)= RI ф (о?)ср , когда (х*, y*)st . (i7)

В дальнейшем звездочки для простоты будем опускать. Область фильтрации G с внешней границей Г покроем сеточной областью с шагом Ах = Ау, как это изображено на рис. 46. Внешнюю границу Г аппрокси-мгуем сеточной границей Г. Тогда область фильтрации G заменится сеточной областью G. Центры квадратов будем называть узловыми точками. Предполагается, что каждая i-я скважина с контуром si попадает в узловую точку. Этого всегда можно добиться соответствующим перемещением сеточной области до наилучшего совпадения места расположения скважин с узловыми точками и некоторым «сдвигом» скважин.

Используя идею метода Д. Дугласа, уравнение (14) аппроксимируем следующими двумя системами разностных уравнений (при Ах = Ау): 1) в момент времени в

(ДХ2) +

i.l PlJ

(18)

2) в момент времени Bk+i

bl .2 ,2 .1 - 2 ,2 OM <,,i.---; -(1)1-+

Здесь, например, величина pj/ характеризует пластовое давление в точке

пласта с координатами (i Ах, jAy) в Л-й момент времени; zffj - коэффициент

сверхсжимаемости газа при пластовом давлении pfVi значения величин, вхо-

, / р dz \+ it4.v

дящих в скобку j 1 - -i- - ) вычисляются в соответствии с давлением р, )

\ Z dp /jj

и т. д.

Чтобы сформулировать разностную задачу, соответствующую краевой задаче (14)-(17), необходимо условия (16) и (17) записать в разностном виде. Условие (15) при решении задачи учитывается без затруднений: при к = О псе р?,/ = 1-

Граничное условие с Г будем непосредственно переносить на границу сеточной области Г без соответствующей интерполяции, так как число приграничных узловых точек на порядок и более меньше общего числа узловых точек, аппроксимирующих G. Поэтому считается, что погрешность в решении опредв"-ляется главным образом погрепшостью уравнений в основных узлах, число которых является подавляющим.

Таким образом, имеем

dpi [дпо

(20)

Использование данного условия на ступенчатой линии Г при рассмотрении систем (18) и (19) приводит к совпадению направления нормали с направлениями координатных осей. Поэтому условие (20) для системы (18) дает следующие конечно-разностные уравнения (со вторым порядком точности для границы, проходящей по середине расположения узловых точек):

dpi дпо

PiJ~Pi-i,f Ах

= 0,

(21)

dpi dnn

4+iJ-pi,i

= 0.

(22)

Здесь индексы «л» и «п» означают принадлежность к приграничным узловым точкам соответственно на левой и правой границах области G (см. рис. 48).

Так же условие (20) при рассмотрении системы (19) дает следующие конечно-разностные уравнения:

= о;

(23)

(24)

Здесь индексами «в» и «н» помечены «верхние» и «нижние» приграничные узловые точки.

Рассмотрим конечно-разностные аналоги граничных условий по скважинам. Пусть некоторая скважина находится в узле (г, j). Тогда, согласно формуле Дюпюи, для дебита фиктивной скважины можем записать относительно принятых обозначений следующее уравнение:

ni -

PI, I

(25)

Здесь р - среднее давление на контуре г = Дх; р,-,,- - давление на забое фиктивной скважины; Ог.у- значение параметра а в узловой точке (I, /).

Очевидно, что величина может быть принята равной среднеарифметической величине от квадратов давлений в соседних узловых точках, т. е.

р2= \ (р<-1, i+Pi. 1-1 +р1 i+i)-

(26)

Тогда уравнение (25) переписывается в виде:

4 In

±r(PU,l + Phi,i + Pti-i+Pli+x-iPl I).

Нетрудно заметить, что уравнение (27) является конечно-разностным аналогом выражения

Oj, I Да:

1-0 дх

+0 ду

I dpi

1+0 J

(28)

Символами -О, -fO характеризуются значения производных соответственно слева, снизу и справа, сверху от узловой точки (J, /).

Применительно к схеме Д. Дугласа уравнение (28) для (к -j- --го временного слоя, записывается в виде:

k + -

4 In

"кг- W7,; -4J" +piul +pfi-x-j+pij.i

Лс.ф

и для (A 4- 1)-го временного слоя в виде:

(29)

4 In

Да: Вс.ф

г. о 2 , , 2 , ,h+l - „fe+l , -ft+l

- 2Р?, / + . / + Pl i-i - 2p? ,. +Pli,

(30)

Последовательное решение систем уравнений (18), (21), (22), (29) и (19), (23), (24), (30) с учетом условия р?,/= 1 дает решение интересующей нас задачи на к+ 1-м временнбм шаге.

Непосредственное решение рассматриваемых систем затруднительно из-за их нелинейности. Позтому при их решении могут быть использованы два подхода. Например, при нахождении решения ва А: -Ь 1-м временнбм шаге величины и параметры, зависящие от искомого решения, вычисляются согласно соответствующим значениям давлений на А;-м временнбм слое; при нахождении решения на (А: + 2)-м временном шаге используются значения давлений на (Л -Ь 1)-м шаге по времени и т. д. При достаточно малых временных шагах такая линеаризация на каждом временнбм слое приводит к решению задачи с высокой степенью точности. Естественно, что в рассматриваемом случае точность решения зависит от размера шага по времени. Расчеты с шагом т, 2т и т. д. и сопоставление решений по заданной величине погрешности 8 позволяют установить оптимальные, растущие шаги по времени (см. § 6 данной главы).

Согласно другому подходу, при отыскании решения на (Ас + 1)-м временнбм слое в первом приближении нелинейные члены вычисляются согласно известному решению задачи на А-м слое. Полученное приближенное решение на А: -J--- 1-й момент времени используется для итерирования (уточнения) нелинейных членов. По уточненным значениям нелинейных членов отыскивается новое уточненное решение на (А: -J- 1)-м временнбм шаге и т. д. Итерационный процесс на каждом временнбм слое контролируется заданной величиной погрешности е или заданием числа итерационных циклов в каждый момент времени.