Демонтаж бетона: rezkabetona.su

Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 [ 25 ] 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177

Математический вид этой зависимости здесь не имеет значения.

Таким образом, сделаииое утверждение доказано. Перейдем к доказательству П-теоремы. Пусть функция

а = f(a,a2, ... ,а,а+1, ... ,а„), (5.14)

у которой аргументы ai, aj, ... , обладают независимыми размерностями, иредставляет собой какую-либо физическую зависимость .

Выбирая различные системы единиц измерения, можно, очевидно, произвольным образом менять численные значения аргументов функции/ Однако ясно, что физическая закономерность, т.е. вид функции/, ие может зависеть от применяемой системы единиц измерения. Иначе говоря, физические закономерности должны бьпгь инвариантны но отношению к ири-меияемым системам единиц измерения.

Как бьшо показано в §3, размерности величии а, aii,... , могут бьпгь выражены через размерности величии с независимыми размерностями, то есть

[а] = {a,T{a,f... [%] [а,,,] = [oiJLofШ", K] = [aif4a2f" - [«.р.

Введем параметры

П = -П= а. У-i = l,2,...,n-k. (5.16)

aai ...al a"ai" ... al""

Из формул (5.15) следует, что величины (5.16) являются безразмерными.

Подставив значения (5.16) в соотиошеиие (5.14), получаем

Паа ... al = /"(01,02, ... ,ak,Y\aai ... al, ... ,n kaa" ...al") или

П = Ф(а1,а2, ...,ай,П1,П2, ...,П„ й). (5.17)

Как бьшо доказано, путем изменения масштабов основных единиц измерения можно численное значение величины а изменить в произвольное число раз, причем так, чтобы численные значения величии 02,03, ...,а остались без изменения. Так как параметры П,П1,П2, ... ,n-k являются безразмерными, то их численные значения тоже ие изменяются. Это означает, что функция Ф от аргумента о ие зависит и

П=Ф(о2,Оз, ... ,o,nj,n2, ...,П„ ).



Применяя эти же рассуждения последовательно к параметрам ai, 13, ak, из формулы (5.17) получим, что

П =Ф(П1,П„ ...,n„ J. (5.18)

Полученный результат представляет собой содержание П -теоремы, или теоремы Букиигама. Пусть существует физическая закономерность, выраженная в виде зависимости некоторой, размерной величины от размерных же определяющих параметров. Эта зависимость всегда может быть иредставлеиа в виде зависимости некоторой безразмерной величины от безразмерных комбинаций определяющих параметров. Количество этих безразмерных комбинаций меньше общего числа определяющих параметров иа число размерных определяющих параметров с независимыми размерностями.

Иначе говоря, пусть даиа физическая зависимость (5.14) и пусть величины й!, aj, ... , ak обладают независимыми размерностями. Тогда зависимость (5.14) может быть ириведеиа к виду (5.18), где безразмерные параметры П, П1,П2, ...,П„ й вычисляются ио формулам (5.16).

Из формул (5.14) и (5.18) следует, что при переходе от зависимости (5.14) между размерными величинами к безразмерной зависимости (5.18) число аргументов уменьшается иа число k параметров с независимыми размерностями, и соотношение (5.18) является иивариаитиым относительно применяемых систем единиц измерения.

Особый интерес представляет случай k = п.Из формул (5.16) и (5.18) следует, что в этом случае

П =--= С = const, или а = Саа ... al. (5.19)

ааР ...al

Заметим, что из общего числа параметров ai, aj, ... , в формуле (5.14)

совокупность параметров с независимыми размерностями а,, aj, ... , может быть выбрана разными способами. Поэтому, как это видно из формул (5.16), безразмерные параметры П, Hi, П2, ...,П„ й могут иметь различный вид при одном и том же виде зависимости (5.14).

Заметим также, что смысл И-теоремы сводится ио существу к переходу к новой системе единиц измерения а,, aj, ... , а.

§5. Подобие физических явлений, моделирование

Рассмотрим описание какого-либо физического явления в заданной системе единиц измерения, которую обозначим индексом (1). Изменим масшта-



бы основных единиц измерения и новую систему обозначим индексом (2). Тогда, очевидно,

nf = np, П« = П<.

По оиределеиию немецкого физика Р. Поля, «физическая величина -ироизведеиие числового значения иа единицу этой величины». Иначе говоря, Г = >[>], где 7 - физическая величина, у - ее числовое значение в единице измерения [у]. Очевидно, что изменение параметра 7 но тем же правилам, но которым изменяется единица измерения [у], приводит к одинаковому изменению численного значения у. Действительно, иаиример, плотность среды р определяется как отношение ее массы т к занимаемому объему V, то есть

т г -, М

Уменьшим единицу массы в 10 раз, а единицу измерения длины увеличим в 10 раз. Тогда численное значение илотиости увеличится в 10/(10~) = = 10"* раз. Увеличим теперь массу среды в 10 раз, а линейные размеры занимаемого ею объема уменьшим в 10 раз. Численное значение илотиости изменится также в 10"* раз.

Рассмотрим теперь два аналогичных физических явления (иаиример, течение жидкостей в трубах), одно из которых обозначим (и) - натура, другое (м) - модель. Подберем физические параметры модели таким образом, чтобы выполнялись условия

П[ = П[. (5.20)

Тогда, как это следует из П-теоремы, то есть из формулы (5.18),

П* = П*. (5.21)

При выиолиеиии условий (5.20) модельное и натурное явления называются подобными, а величины П, - критериями подобия.

«Два явления подобны, если но заданным характеристикам одного можно получить характеристики другого простым пересчетом, который аналогичен переходу от одной системы единиц измерения к другой системе единиц измерения». Л.И.Седов.

Из формул (5.16) и (5.21) для подобных явлений имеем

п(м)

aag...al

П(н)

откуда

(5.22)




0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 [ 25 ] 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177



Яндекс.Метрика