Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 [ 54 ] 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177

ТЕЧЕНИЕ вязкой НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ПО ТРУБАМ

Из первых двух равенств (9.4) и последней формулы видно, что в ка-

ждыи данный момент времени давление линейно зависит от координат, то есть

р = pF,x +pFyy + C{t)2 + D{t),

dp dz

Cit).

(9.5)

Граничное условие движения (9.4) имеет вид

для уравнения

(9.6)

где х,у - координаты точек контура трубы S (рис. 9.2), di V - скорость ее движения вдоль оси Oz. Если труба неподвижна, то F = О.

Введем функцию

и = и

Рис. 9.2

(9.7)

Так как F. = const, а

Эр dz

C{t), то, подставив соотношение (9.7) в урав-

нение (9.4) и используя граничное условие (9.6), получим

дй р dt ~ р

f -\2~

д и д и

- + -

Эх dy

(9.8)

u(x„y,,t)

dp dz

C(t).

(9.9)

Следовательно, задача о неустановившемся движении вязкой несжимаемой жидкости по призматической трубе может быть сведена к решению уравнения (9.8), имеющему вид уравнепия теплопроводности нри граничных

условиях (9.9). В случае установившегося движения

Эр dz

const, и уравне-

ние (9.4) принимает вид

const,

(9.10)

то есть уравнение движения сводится к уравнению Пуассона. Введем функцию у/ с помощью соотношения

1 fdp

и = у/ +

х+у).

Подставив это выражение в уравиеиие имеем

10) и граничное условие (9.6), ЭУ г, ( \ (dp

дх ду

Таким образом, задача об установившемся течении вязкой несжимаемой жидкости по призматической трубе может быть сведена к решению уравиеиия Лапласа, когда иа границе области задано значение искомой функции, то есть к задаче Дирихле.

Рассмотрим плоскопараллельное безвихревое движение идеальной несжимаемой жидкости внутри контура 5 (рис. 9.2), ограничивающего ноне-речное сечение призматической трубы. Пусть этот контур вращается с угловой скоростью со вокруг оси Ог. Проекции скорости точек контура 5 равны

= -coy,, Vy = сох,. (9.12)

С другой стороны, в соответствии с формулами (8.2) и (8.7)

У- =

Эх Эг/ dy/

= 0.

.13)

(9.14)

где у/ - функция тока. Из формул (9.12) и (9.14) имеем, что в точках контура 5

dy/ = -Vydx + vdy = -co{xidx + yidy).

откуда

Равеиства (9.13) и (9.15) нрн С = V и со =

-pF.

.15)

совпада-

ют с соотношениями (9.11). Следовательно, изучение установившегося движения вязкой несжимаемой жидкости но призматическим трубам может быть заменено рассмотрением илосконараллельного потенциального течения идеальной несжимаемой жидкости внутри вращающегося контура 5 и наоборот. Заметим также, что уравиеиия вида (9.13) с граничными условиями (9.15) описывают кручение призматических стержней.

ТЕЧЕНИЕ вязкой НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ПО ТРУБАМ

§2. Прямолинейное течение между двумя параллельными

стенками

Течение в узких щелях (зазорах) можно

моделировать как течение между параллельными стенками.

Рассмотрим установившееся течение между двумя неподвижными параллельными плоскостями, расположенными па расстоянии 2h друг от друга (рис. 9.3). Скорость течения,

как и раньше, принимаем равной й = ки. Гра-

ничные условия имеют вид: при X = h и = О, при X = -h

и = 0. (9.16)

Рис. 9.3

Благодаря симметрии движение в плоскостях, параллельных плоскости xQz, одинаково, и, следовательно, и = и{х). Тогда уравнение движения

(9.10) принимает вид

const,

откуда

2jLl

Эр dz

pF X + CjX + С

Подставив решение (9.17) в граничные условия (9.16), получим

Ci = О, С

(9.17)

х -h

(9.18)

Из формулы (9.18) следует, что максимальная скорость течения и

равна

(9.19)

(9.20)