Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 [ 34 ] 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78

(VII. 2) в частных производных в систему обыкновенных дифференциальных уравнений

аТни [Ь 5)--хГни(, s)-r.l aTl{~l,s) sT{~l,s). (VII. 4)

Общее решение этих уравнений можно записать так

(VII. 5)

Поскольку по последнему из условий (VII. 3) в первом уравнении при -)-оо показательные функции не могут стремиться к бесконечности, то очевидно, что Лв = 5н = 0.

Из первого и третьего условий (VII. 3) получаем

н = 5в = -4/-. (VII. 6)

Таким образом, решение задачи в изображениях будет следующим

s у s

Tn. a, s) = J-L - + 4 . (VII. 7)

к решению (VII. 7) мы пришли, исходя из предположения, что наблюдатель перемещается в пористой среде со скоростью конвективного переноса тепла и и замечает лишь теплопроводные потоки. С математических позиций такой прием может показаться недостаточно строгим, поэтому покажем, что результат (VII. 7) можно получить корректным аналитическим путем, хотя при этом возникают некоторые затруднения в определении краевых условий.

Путем замены переменных h и t иа новые независимые переменные

l = h + ut; x = t (VI I. 8)

уравнение (VII. 1) приводится к виду уравнения теплопроводности

--4 (VII-9)

поскольку

f дТ \ дТ dt , дГ dl dT dT лr

Для начального условия х = t = О

Т {h, 0) = Г (1, 0) = To + rh = To + ri. (VII. И)

После преобразования по Лапласу функции Т по переменной т

получаем из (VII. 9) обыкновенное дифференциальное уравнение

аК = 8т-{То + Г1), (VII. 12)

обхцее решение которого следующее

Т. = Ае-+Ве + 1±П . (VII. 13)

Т -4- Г Ё

Поскольку для I -оо, Ги ---~ , то постоянная 5 = 0.

Значение постоянной А может быть вычислено после установления какого-либо граничного условия в точке S = О- Для этого на основании закона суперпозиции теплопроводных потоков представим первоначальный поток -j-qr, подчиненный геотермическому

градиенту в нижней части стержня, как сумму двух потоков -- +

+ 4- qr, а отсутствие теплопроводного потока в верхней части стержня

как разность потоков -тг qr- дг- Таким образом, в точке S = О (в точке соприкосновения стержней) встречаются два противоположных, блокирующих друг друга потока qr--тг дт, неблокированная

половина потока -г дг перетекает беспрепятственно через сечение

контакта стержней = 0. Отсюда получаем условие постоянного расхода тепла на контуре S = О или

= ±Г, или =, (VII.14)

из которого вычисляем

А=У (VII.15)

2s ys

и получаем решение для изображения

Та=Г-(VII.16)

Sy/ S *

совпадающее с решением (VII. 7).

Оригинал этого изображения дан в работе А. В. Лыкова [37

Г = Г}/ТтгегГс-4=+Го-1-Г (VII. 17)

2 V ат

или в функции неременных h и t

Т = Tgr{h-ut) +ryVtierh-. (VII. 18)

2 у at

Как видно, глубина сноса геотермического профиля равна

hi==ut=V, (VII. 19)

где - объем жидкости, поглощенной единицей торцовой поверхности стержня.

На глубине сноса (VII. 19) геотермический градиент равен половине нормального градиента, что подтверждается граничным условием.

Максимальное отклонение температуры в точке сноса 1=0 согласно (VII. 18) нарастает по закону

АГо = 0,5642 (VII. 20)

и на некотором расстоянии от точки сноса влияние теплопроводности практически затухает. Так, для S = 4: t отклонение температуры в 1000 раз меньше, чем в точке = О, и влияние теплопроводности можно уже не учитывать.

восходящий поток в ЗЕМНОЙ Конвективное перемещение гео-

°* термы с постоянным наклоном Г

вверх со скоростью и равносильно нагреванию горных пород. При этом скорость нарастания температуры Ги соответствует мощности непрерывно действующего источника тепла = СцГи. Поэтому задачу восходящего потока удобно рассматривать как теплопроводную с постоянным источником тепла. Такая задача отвечает следующему дифференциальному уравнению [37]

S-+=n4f- (V"-21)

Физический смысл зависимости (VII. 21) состоит в том, что приращение тепловой энергии в элементе объема пористой среды за время dt слагается из баланса теплопроводных потоков и из тепла, полученного от внутреннего источника.

Для восходящего потока уравнение (VII. 21) можно записать

* Общая картина распределения температуры в земной коре дана в главе XI в разделе «Геотермические исследования».