Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 [ 7 ] 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78

Первый член обобщенного полинома Ф (s) является постоянным числом bo = *~L. , а полином ф (s) не содержит постоянной.

Таким образом, условия теоремы разложения Ващенко - Захар-ченко соблюдены и ее можно применить для перехода от решения для изображения (П. 26) к решению для оригинала. Теорему разложения запишем так

где Sn - корни полинома ф (s).

Для получения корней функции ф (s) приравняем выражение (П. 27) к нулю. Тогда найдем корень Sq = о и бесчисленное множество корней

. = -™ <"->

где п = 1, 2, 3 и т. д. Значения корней (П. 30) определяются из следующего соотношения

Yi{hi + K) = ±sinlY-(h+h,) = 0. (11.31)

Производная функции ф (s) для Sq = о Для других корней

Иш ф(s) =-М;. (11.32)

S-.0 У а

ф(5„) = (-1)"А±. . (11.33)

2 у а

Значение функции Ф (s) для = о

ф(0) = -1±. (11.34)

Для других корней

Ф(5„) =--hi + h, hr + h,

Первый член решения для оригинала в соответствии с выражениями (II. 29), (II. 32) и (II. 34) равен единице, следующие члены оригинала в соответствии с (II. 33) и (II. 35) определяются формулой

Mn(t) , ,чИ 2№i + fe2) .„ гея/г, .„ nnh п2„2а

± = (-1)" " "\ТТ sin-fsin-ie ("i) (11.36)

и, наконец, решение поставленной задачи приобретает вид следующего бесконечного ряда

При данной суммарной мощности пластинок -- = const максимальное значение разности температур отвечает случаю = = = h, для которого выражение (II. 37) упрощается так

ДГм = ДГ, "

оо n=i

(2га-1) па "(2ra-lty ("-38)

Ряд (II. 38) отвечает известному решению задачи нагревания ограниченного стержня при постоянной температуре на одном из торцов.

Это граничное условие сохраняется на контакте двух одинаковых неограниченных пластинок с разными начальными температурами. Последний ряд сходится очень быстро. При точности определений порядка 1% второй член можем не учитывать уже при значении

3> 0,125. (11.39)

Для перехода к конкретным числам приводим значения коэф-4)ициентов температуропроводности по Лыкову [37] для некоторых материалов в cMfcen: для бетона 0,0049; для огнеупорной глины 0,0051; для мела 0,0053; для мрамора 0,0055; для влажного песка 0,0049; для фарфора 0,0040. Как видно, значение коэффициентов температуропроводности для разных пород колеблется в относительно узких пределах и для оценочных определений теплопередачи в песках и песчаниках можно принять а = 0,005 см/сек. Принимая в расчет реальные значения толщины пластинок, моделирующих процесс теплопередачи в пористой среде порядка 10~* см, можно найти, пользуясь неравенством (II. 39), интервал времени t, по истечении которого можно применять одночленную формулу

АГм(ОАГ„е" (11.40)

Задаваясь значением h - 5 • 10* сл1, а = 5-10 см/сек, получим из (II. 39) = 6,25 • 10"® сек. В данном случае уже по истечении ~6 мксек после мгновенного внедрения жидкости в пористое тело теплопередача подчиняется одночленной формуле (II. 40).

Любопытно отметить, что аналогичная одночленная формула может быть получена также из закона теплопередачи Ньютона.

Положив в формуле (I. 1) Г - Q f=t А Т; q = -с Q h , пай-

АТ=АТ„е (11.41)

причем Д Го - разность температур между жидкостью и пористым телом до наполнения пор жидкостью.

Таким образом, характер протекания процесса теплопередачи в пористой среде во времени, определяемый по закону Ньютона (II. 41), отвечает характеру функции (II. 40). Но интенсивность процесса, определяемая по формуле (II. 41), не соответствует действительности. Скорость выравнивания температур по формуле (II. 40) зависит от квадрата мощности соприкасающихся пластинок, а по формуле (II. 41) - от первой степени. Если принять коэффициент теплопередачи а = 50 ккал/м-ч-°С, теплоемкость с=б25 kkaw/i-°С, как принято в работах [75] и [99], то для h = 5 • 10" Л1 выражение = 1,6 • 10* ч = 4,44 сек. В то же время аналогичное

выражение в формуле (II. 40) = 5 • 10* сек. Следовательно,

процесс выравнивания температур между компонентами пласта происходит в данном случае в тысячи раз быстрее, чем это вытекает из закона теплопередачи (II. 1). Для согласования результатов, получаемых по формулам (II. 40) и (II. 41), следует подобрать соответствующее значение для коэффициента теплопередачи Ньютона а. Например, для принятых раньше ограничений = Яа, = Ла, сопоставляя (II. 40) и (II. 41), получим

а ==---T---j-. (11.42)

Ah 4 Л 4 1 -та

Как видно, значение коэффициента а зависит не только от теплопроводности Я, но и от масштаба пористой среды h или от поверхности смачивания Q.

Если считать, что процесс выравнивания температур между компонентами пласта практически закончен, когда разность температур снижается до одной тысячной доли начальных значений или когда

А 7 ff\

-."l < 0,001, то интервал времени (отвечающий этому усло-А о

ВИЮ, найденный по формуле (II. 40), определяется так

>3. (11.43)

Для принятых нами выше конкретных значений продолжительность выравнивания температур между компонентами пористой среды равна около 1,5 • 10"* сек, т. е. около 0,15 мсек.