Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 [ 100 ] 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131

/(0 =

4я kh

fV(t-r) 4xt (VIII. 7. 16)

т. е. согласно (VIII. 7. 3) импульс депрессии связан с отобранным объемом так же, как депрессия с дебитом. Следовательно, после аналогичных рассуждений можно написать вместо формулы (VIII. 7. 9)

J(t) р

V (t) in kh

Ч(0 =

in- + 4(О с

(VIII. 7. 17)

t - x

V(t)

Для формулы (VIII. 7. 17) можно построить график, аналогичный графику на рис. VIII. 15, причем теперь дифференцировать экспериментальные кривые уже не нужно. В координатах W (t), J (t)IV(t) должна получиться прямая линия.

Так как Q (t) отсчитывается от стационарного состояния, т. е. Q (t) = = Qo(0) - Qo(t), то

V (t) = Q„ (0) г - J Qo (t) dt = Qo(0)t-Vo (t). 0

Формула (VIII. 7. 17) была непосредственно проверена и подтверждена И. Д. Умрихиным при помощи специально поставленных лабораторных экспериментов [26, 27].

Выше были описаны методы, основанные на наблюдениях неустановившегося притока к одной скважине в предположении, что пласт неограничен. Этого условия, конечно, в действительности нет. Однако в начальной стадии неустановившегося процесса притока к одной скважине влияние границ пласта практически не сказывается и пласт можно считать неограниченным.

В некоторых случаях может оказаться желательным оценить размеры зоны влияния вокруг скважины, за пределами которой возмущение, вызванное нарушением стационарного притока к скважине, практически не сказывается [28]. В этом случае можно исходить из общих известных формул Маскета для плоскорадиального неустановившегося притока упругой жидкости к скважине в ограниченном пласте радиусом Лк, когда на окружности г = Лк предполагается р (Лк, t) = Рн = const, а на скважине г = Гс задан закон изменения забойного давления или отбора жидкости [Лт. I. И; 1,7].

Формулы Маскета относятся к чисто радиальному неустановившемуся притоку, когда давление в любой точке пласта есть функция расстояния г и времени t, р = р {г, t). Если форма области вокруг скважины некруговая, то давление, естественно, будет зависеть также от полярного угла в и указанные формулы Маскета для радиального течения не применимы, так как в этом случае р = р (г, 9, t) и течение двухразмерное. Однако нетрудно показать из уравнений и движения и неразрывности, что формулы Маскета сохраняют свою силу для средних вдоль любой окружности г давлений р = р (г, t), где

р{г, Ь, t)db = p(r,t). (VHI. 7. 18)

так как V {- т) = О, ибо Q(t) - 0 при t < О (по условию отсчет дебита ведется от стационарного состояния). Подставляя (VIII. 7. 15) в (VIII. 7. 14), получаем

Действительно, учитывая правила дифференцирования определенного интеграла по параметру, для объемного расхода Q через любую окружность г имеем, считая к, ц, h постоянными:

к dp (г, 6, t)

" dp(r,fl,t)

rhdd = -

dp(r, 6,0 dr

rdb =

p d\nr

p (r, %,t)d% =

kh д (2л p) к др (г, t)

- , - - 2nrh, (VIII. 7. 19)

p a In г \i dr

t. 0. объемный расход Q при нерадиальном движении выражается через среднее вдоль окружности давление р = р (г, t) точно так же, как и при радиальном. Отсюда немедленно получается, что р (г, t) удовлетворяет основному уравнению неустановившегося плоско-радиального течения упругой жидкости (VIII. 1. 8)

др (г, 0,1 др (г, t)

др (г, t) dt

(VIII. 7.20)

и все решения Маскета для ограниченного кругового пласта и радиального течения при расчетах р (г, t), таким образом, оказываются справедливыми.

Иногда встречаются возражения против законности использования этих формул Маскета при определении параметров областей пласта, выделенных вокруг скважин, на том основании, что контур областей .может быть некруговым [1]. В свете высказанных выше соображений эти возражения являются несостоятельными, так как на скважине измеряется именно р (гс, t), а под постоянным контурным давлением рк на удаленном контуре Лк вполне возможно подразумевать р (Лк) = const.

Выше были указаны методы, основанные на наблюдениях неустановившегося притока к одной скважине. Если имеется возможность параллельно произвести наблюдения за изменением давления в соседних пьезометрических скважинах, то, разумеется, рамки информации о пласте, его фильтрационных характеристиках существенно расширяются [Лт. I. 15, 16; 1].

В настоящее время существует ряд различных методов определения параметров пласта, основанных на наблюдениях неустановившихся фильтрационных процессов [Лт. 1. 15, 16; 1]. Описание и анализ этих методов выходят за рамки настоящей книги и поэтому здесь не приводятся.

Укажем только идею метода, предложенного Г. И. Баренблаттом и развитого в работе [29], основанного на применении преобразования Лапласа к линейному уравнению теплопроводности, к которому относится исходное дифференциальное уравнение упругого режима фильтрации.

Метод интегральных преобразований, одним из которых является преобразование Лапласа, в настоящее время широко применяется для решения различных задач математической физики [Лт. V. 5, 6]. Напомним определение преобразования Лапласа.

Пусть дана некоторая функция и (х, у, z, t). Преобразованием Лапласа функции и (х, у, Z, t) по переменной t называется интеграл

и (х, у, Z, t) dt = u (х, у, Z, S),

(VIII. 7.21)

где S - параметр преобразования. В общем случае величина s комплексна.

е- Дрс (t) Л < f е- I Дрс (О Imax dt =

= - I Арс (О Imax--

р- so

АРо (О I to

Должным выбором S последнюю величину можно сделать сколь угодно малой.

После нахождения указанным образом изображений экспериментально найденных в процессе наблюдения величин используются формулы для изображений, полученные из решения преобразованного урацнения теплопроводности.

Эти формулы содержат параметр s и искомые физические константы пласта-,

X, приведенные радиусы скважин.

Искомые физические константы предлагается определять непосредственно по этим формулам, не переходя от изображений к оригиналам. Замена обработки

Пусть исходная функция и, обычно называемая оригиналом, зависит только от одной координаты и времени и - и (х, -t) и удовлетворяет некоторому линейному уравнению с частными производными, например уравнению (Vni. 1. 8), которое надлежит проинтегрировать прн определенных начальных и граничных условиях того или иного вида, также линейных. Очевидно, преобразованная по Лапласу функция и, называемая изображением, определенная выше интегралом (VIII. 7. 21), также удовлетворяет некоторому дифференциальному уравнению, но уже обыкновенному, интегрирование которого выполняется обычно значительно проще, нежели исходного в частных производных. Преобразованное уравнение и преобразованные начальные и граничные условия будут содержать параметр преобразования s, по, очевидно, не будут содержать переменной t. В результате решения преобразованной задачи получается решение для изображения и = и (х, s). Переход от изображения к оригиналу выполняется при помощи специальной формулы преобразования или при помощи таблиц изображений, если найденное изображение в них содержится. Таблицы изображений приведены во многих руководствах по операционному исчислению [Лт. V. 5, 6].

Метод определения параметров пласта по наблюдениям изменения давления в скважинах в период неустановившихся режимов притока, предложенный Г. И. Баренблаттом, заключается в нахождении их изображений по Лапласу

Aic (s) = \ е~ " Дрс (О dt (V] 11. 7. 22)

при помощи графического или числетшого интегрирования.

Строго говоря, для этого нужно знать Д рс (О на интервале времени от нуля до бесконечности, что, конечно, нереально. Однако, выбрав параметр s вещественным положительным и достаточно большим, так как Д Рс (О - ограниченная функция, изображение можно найти интегрированием в пределах

0 - to, где to - момент, до которого Д рс (г) достаточно надежно известна из опыта; действительно,

Apc(s) =]" е-* Дрс (t)dt + [ е- Apc(t)dt. (VIII.7.23) О <о

Если пределы изменения Дрс() известны и можно указать максимум

1 Арс (О I < I Арс (t) \тах, то всегда можно выбрать достаточную величину s, чтобы вторым интегралом можно было бы пренебречь, так как