Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 [ 126 ] 127 128 129 130 131

CT = CTi = const, -->0, r = R(i) dt

СТ = Ста = const, <0. (Х.З. 6)

Следовательно, мы приходим к задаче интегрирования уравнения тепло-проводностп с выполпением некоторых условий на подвижной границе R (t) - задача типа Стефапа. Точные решения задач такого типа известны для весьма немногих случаев, например, автомодельное решение Н. Н. Веригина задачи о нагнетании с постоянным расходом одной упругой жидкости в пласт, ранее занятый другой упругой жидкостью [10]. Можно отметить дополнительно работу Л. И. Рубинштейна [И], в которой проблема сведева к рассмотрению некоторой системы интегральных уравнений, весьма сложной для вычислений, работу Б. Я. Любова [12] и основанную на ней статью А. Ш. Казымова [13], а также статью И. Г. Портнова [14].

В последних рассмотрены некоторые частные случаи задач типа Стефапа. Несмотря па несомненный теоретический интерес, использование предлагаемых методов для обш,его случая произвольного закона изменения Gr (<) закачиваемого или извлекаемого газа затруднительно.

Ряд американских работ посвящен решению различных задач о поведении газа в водоносном пласте при граничных условиях на некоторых фиксированных окружностях Ri и i?2i исходя из известных решений Херста, Ван-Эвердин-гена и Маскета для упругого режима фильтрации в водоносном пласте [Лт. 1. 11; 15]. В этих работах приведен ряд примеров расчетов, выполненных с использованием быстродействующих машин и аналогов устройств [16]. Перемещение границы раздела газ - вода в этих работах учитывается приближенно, при этом решение, справедливое при фиксированных границах, распространяется на случай их движения [16]. Ниже предлагается решение, в котором в отличие от более ранней работы автора [17] непосредственно учитываются условия на подвижной границе раздела между газом и водой.

Как указывалось выше, вес газа в пласте в каждый момент времени считается известным. Приводя этот вес к объему при нормальных условиях рн, Tjj, за которые обычно принимаются ра = рат = 1 кГ/см, Тц = 20° С = 293 °К, получаем

nm6hR(t)-P-- = ж„(г), (Х.З. 7)

где Wn (О - известная функция времени (газ идеальный); р = р \R (i)]- давление газа в пласте; Т - температура газа в пласте; ст - средняя газонасыщеп-ность в объеме я mhR (t). При вытеснении воды газом ст и ст мало отличаются друг от друга (§ 2 гл. IX) и в первом приближении можно считать ct?« ст. Задача, таким образом, сводится к интегрированию уравнения (X. 3. 1) в области г > R (t) при условиях (X. 3. 6) и (X. 3. 7) с одновременным нахождением закона движения R (t).

Здесь следует сделать следующее замечание. По постановке задачи предполагается в каждый момент времени известным вес газа в пласте внутри круга радиусом R (t). Вне этого круга находится чистая вода, для которой считается справедливым уравнение теплопроводности (X. 3. 1).

Таким образом, строго говоря, при обратном извлечении газа, когда <0,

мы должны считать, что газ вытесняется полностью, поскольку задаем его вес внутри расчетного круга R {t). В действительности же, как упоминалось вьппе, хотя газ вытесняется водой гораздо полнее, чем вода газом, все же некоторое

ния ст. Таким образом, в качестве условия на подвижной границе R (t) между областями, занятыми водой и газом, примем

4 л kh

4<*-) dr.

(Х.З. 8)

Уравнение (X. 3. 8) имеет реальный смысл в области г R (t), включая г = R (t). Интенсивность источника Qo (т) пока неизвестна.

Идея предлагаемого метода заключается в использовании решения в форме интеграла (X. 3. 8), формально справедливого во всей области г>0, что позволит избежать осложнений, связанных с нахождением специальных видов решения уравнения теплопроводности (X. 3. 1), удовлетворяющих тем или иным условиям на подвижной границе. Вместо этого постараемся определить интенсивность Qo (т) так, чтобы нужные нам условия удовлетворялись.

Из формулы (Х.З. 6) получим

dR di

Ял hK

Qo(x) -

e ici-T) dr.

(X.3. 9)

Уравнения (Х.З. 8) при r = R{t), (Х.З. 9) и (Х.З. 7) образуют замкнутую систему для трех неизвестных функций Qo{t), p[R{t)] и R (t), причем начальный радиус R (0) считается известным. Вместо R (<) целесообразно ввести объем газа в пласте V (<):

лтаШНП = У = У (t). (Х.З. 10)

Из уравнений (Х.З. 8), (Х.З. 9) и (Х.З. 7) получим

* УИ)

М Г»1)-е inmof-t) Л, (Х.З. И) 4яМ < -т

р(<) = Р[Д«)1=Р = Рк +

4)ся так

(?0(Т)

{t~rf

У(.П

.g iyinmah(i-x) dr.

mmiw.t).

(X. 3. 12)

(Х.З. 13)

Нетрудно видеть, что для реального газа с уравнением состояния р/у = = z (р. T)RT вместо (Х.З. 13) будет

P{t)Vit) Тп (Рн. Т„) W Тр„ z(p,T) ">

количество газа порядка 10-15% при обратном движении воды застревает в тупиковых порах и остается невытесненным.

Отсюда следует, что, задавая коэффициент в формулах (X. 3. 6) с учетом неполноты вытеснения газа водой и одновременно задавая вес газа внутри расчетного контура газоносности R (t), мы по существу учитываем кинематический характер процессов, связанных с неполнотой вытеснения, но вместе с тем включаем невытесненный газ в общий расчетный вес газа Wh (0> что, конечно, связано с некоторой погрешностью. Можно предполагать, что при таком методе расчета давленые газа определяется достаточно точно.

Будем искать распределение давления в водяном пласте в виде интеграла, выражающего в теории теплопроводности суммарный эффект непрерывно действующего теплового источника в начале координат (§ 3, гл. VIII):

Рк - Рк

M)L= = p(.), „=„(,)=. JL, (Х.З. 15)

Рк Рк 4хя m о ft Го

причем о (0) предполагается известной.

Уравнения (Х.З. И). (Х.З. 12), (X. 3. 13) в безразмерных переменных принимают вид:

а (ж)

Р = 1+

4 я о

е -Wg. (Х.З. 16)

da dx

.= p„f e-.S. p = J =l (X.3.17)

p(x)a(x)=/(x), (Х.З. 18)

l(x) н (0 (Х.З. 19)

•нРк iy,nmahTo

f (х) - известная безразмерная функция безразмерного времени х. Для реального газа с учетом (X. 3. 13а) вместо (X. 3. 18) получим

(Р" «Vpa = /(x). (Х.З. 18а)

г(РкР. Т)

Уравнения (X. 3. 16), (X. 3. 17), (X. 3. 18) или (X. 3. 18а) образуют замкнутую систему нелинейных интегро-дифференциальных уравнений для трех неизвестных функций р = р (х), а = а (х), д - д {х). С учетом (X. 3. 6) и (X. 3. 17), коэффициент р будет, вообще говоря, иметь различное значение:

Р = Pi, > О и р = Pj, < 0. При любом виде функции / (х), за исклю-

CiX их

чением / (х) = сх аналитическое решение системы (X. 3. 16) - (X. 3. 18) и (X. 3. 16) - (X. 3. 18а) крайне затруднительно. Случай / (х) = сх будет рассмотрен ниже. Поэтому в общем случае произвольной зависимости / (х) задачу приходится решать численными методами.

Один из возможных методов заключается в следующем. Разобьем промежуток интегрирования О, х в (X. 3. 16) и (X. 3. 17) на п интервалов О, xi; xi, Х2,..., x„ j, Xn = X и внутри каждого интервала д () будем считать постоянным: О < К XI, g (I) = ?i; XI < К Хг, д () = ..... < I <

< x, д (I) = Qn. Так как исходное решение (X. 3. 8) выражает результат суперпозиции непрерывно действующих тепловых источников, то, очевидно, с увеличением числа интервалов мы будем приближаться к точному результату.

где z = z{p,T)-коэффициент сжимаемости газа, определяемый обычно по графикам или эмпирическим формулам; Д -газовая постоянная.

Система (Х.З. И), (X. 3. 12), (X. 3. 13) или (X. 3. 13а) эквивалентна системе (Х.З. 8), (Х.З. 9) и (Х.З. 7). Введем произвольный масштаб времени и безразмерные переменные