Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 [ 62 ] 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131

др+ Зф

Q-ln-i-da. (VI 1.4.15)

Подставляя в (vii. 4. 9а) значения из (vii. 4. 15), q из (vii. 4. 13)

и вводя обозначение

получаем уравнение dF

I dn л .

X = -J-p. (VII. 4. 16)

/ ln-i-.a=-i-4-- (VII.4.17)

dt I dn j dn R m Cj-f-cj

Таким образом, задача отыскания функции F{x,y, i) = 0 (VII.4. 5) сведена к задаче Коши для интегро-дифференциального уравнения (VII. 4. 17) с начальным условием (VII. 4. 6).

Для избавления от интегрирования по искомому контуру Г перейдем1 к полярной системе координат г, 9, в которой уравнение контура имеет вид:

f (г. 6.0 = г-/(6,0 = 0; (VI 1.4.18)

в начальный момент t = 0

F(r.b.O) = U(b)-f(Q,0) = 0 или /(9,0) = /о(е), (VII.4. 19)

где /о (6) - известная функция. Переходя к новой системе по формулам г = гсозв, j/ = rsinD, Xi = Qi cos Oj, j/j = QjSinaj, g = QCOSV, Ti = Qsinv,

При этом полагаем, что искомый контур Г звездообразен, т. е. любой радиус, ИСХ0ДЯПЦ1Й из выбранного полюса, пересекает его лишь один раз.

Функция р (VII. 4-11) удовлетворяет уравнению (VII. 4.1), условию (VII. 4. 2) и по построению имеет заданные особенности в точках скважин xi ,yi.

Согласно известным свойствам потенциала простого слоя из (VII. 4. И) следует [10]

-i£l = -2n,. (VII.4.12)

Используя (VII. 4. 9а) и (VII. 4. 96), из (VII. 4. 12) имеем соотношение, впервые полученное Г.Г. Тумашевым [И]:

Остается удовлетворить условию (VII.4. 5)и уравнению (VII. 4. 9а), или (VIh4. 96). Вместо (VII. 4. 5) удовлетворим следующему условию, вытекающему из (VII. 4.12) и (VII. 4.13):

-fl = (± ±).L/fl. (VII.4.14)

дп дп \Ci cj дп I дп

Из (VII. 4.14) и (VII. 4. 9а) вытекает условие (VII. 4. 5). Предельное значение производной давления яо п при стремлении к Г изнутри равно

после преобразований получаем интегро-дифференциальное уравнение с постоянным интервалом интегрирования

/(в.ОЛ(в.«)- -J /(v,)/t(v,«):(e,v,Odv =

2я mh

Qi {t)Ki(b.t).

(VM. 4. 20)

a: (e,v,o =

a:i(e.<) =

i4,t)~i(b,t)f (v. f) cos (9- V)-/6 (9.0 / (V, t) sin (9- V) /2 (6,0- 2/ (9, 0 / (V, t) cos (6- v) (V, 0 f (9,0-/ (9, i) Qj cos (6- g)-/e (9, i) sin (9- Qj) /(e,«)-2/(9,«)QiCos(e-aj) + Qi

л (6 n = i.

/в(в.«) =

l(1-f-X)Qi(0. J = 7 + l...../ +

(Vil.4.21)

Если имеется одна нефтяная скважина дебита Q(t) в начале координат, то уравнение (VII. 4. 20) переходит в следующее:

/(9.*) jt (fl.O--

/ (V, t) и (V. t) К (D, V, t) dv= (?(0- (VII. 4. 22)

Рис. VII. 7. Стягивание контура нефтеносности при притоке нефти к скважине, эксцентрично расположенной в круговом пласте.

Точное решение уравнения (VII. 4. 20), а также (VII. 4. 22) при начальном условии (VII. 4. 19) удается найти лишь в простейших частных случаях расположения скважин и начальной границы раздела (VII. 4. 19). В общем случае для численного решения можно использовать метод конечных разностей. Приведем для иллюстрации основные этапы расчета перемещения первоначально кругового контура к эксцентрично расположенной скважине (рис. VII. 7) [7].

Введем безразмерные переменные, предполагая Q = const:

(VII. 4. 23)

где До-кратча14шее расстояние от начального

контура до скважипы; Тд =----к--

я mhR

время «обводнения» скважины при ц1 = рг> т. е. при Я, = 0. При этом дебит источника считается положительным. Уравненпе начального контура имеет вид:

/(6,0)= (У 1 -essinae -ecosB), (VII.4.24)

где е =

---эксцентриситет скважины.

Его можно переписать также в виде

2я .

5/2(9,0 Я,

5i Я

• dPiv.t) -

= (1-)+-:г - K{b,v.t)clv. (VII. 4.26)

Иростейпшй разностный аналог его имеет вид:

З.чесь введены обозначения

Ad = Av = ~. ДГ=-

М • Л

- Т

где М и iV-целые положительные числа; 7 = ---рассматриваемый интер-

вал времени движевия (безразмерная величина);

/р 5 = / (Р Д9,9 At); ff (г Av. q At); р,г:=0, 1, 2.....M-i; 9 = 0, 1, 2.....N (p -индекс суммирования);

fl, q~lp, /r,g COS (Р--Г) A8-/\ g sin (p-r) A8

/p,9-2/p./, 5Cos(p-r)Ae + / ,

- 1Г2- - 1

по формуле численного дифференцирования с опорой на пять точек для центральных производных.

Из (VII. 4. 27) можно определить значения / g+jua (9-f- 1) временном слое по известным значениям функции на временном слое 9.

(6, 0)

Для начала процесса значение--- определяется из интегрального

уравнения Фредгольма второго рода (VII. 4. 26) после подстановки в него известной функции / (О, 0) = 7о (0) п ее производной / (О, 0). Для нашего случая нетрудно найти

dPjfi.O) Г XEC0S9

dt \ /1 -e2sin2 0 j

Результаты расчета на электронной цифровой машипе «Стрела» для е = 0,5 п различных значений к приведены на рис. VII. 8, где по оси абсцисс отложено t, по оси ординат / (О, t).

Было проведено сопоставление законов неремегдения границы по главному направлению 0=0, полученных применением трех методов: 1) интегрированием уравнения движения (VII. 4. 22); 2) расчетом по схеме «разноцветных»

Уравнение движения (VII. 4. 22) в безразмерных величинах будет

7 (8, t) ft (8.7) А j 7 (V, t) 7j- (V, О (8, V, Г) dv = . (VI1. 4. 25)