Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 [ 110 ] 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131

С, =

С, =

г

к* (а)

Из (IX. 4.15) получим

Q(t)

дх kS(x)(c, + C2) •

(IX. 4.16)

Интегрируя уравнение (IX. 4.16) по области, занятой смесью, получаем перепад между начальной границей х = О и фронтом Хф:

S(x)(c, + c) •

(IX. 4. 17)

Интегрируя (IX. 4. 16) по области, занятой чистой второй фазой, получаем перепад между фронтом и концом пласта:

it)-Piit)-j. (IX. 4.18)

Складывая (IX. 4. 17) и (IX. 4.18), получаем

Po{t)~Pi{t) = -

S(x)(ci + C2) -j S{x)

, (IX. 4.19)

причем Pq (t) - pi (t) - известная функция времени t. Для двухфазной фильтрации имеется соотнохпение

-у-= /(ст),

mS (х) dx.

V= Q{t)dt.

(IX. 4.20) (IX. 4.21) (IX. 4.22)

Из (IX.. 4. 20) и (IX. 4. 21) имеем обратную функцию

x = x(Q) = x[F/(a)]. (IX. 4.23)

Тогда

так как в последнем соотношении t - фиксированный параметр,

S{x) = S [X= 5 [х [Vf (о)]). (IX. 4. 25)

Подставим все это в уравнение (IX. 4. 19). Учитывая, что

получаем

= Qit), Poit)- piit) = Apo-i,

A i dV ( „ r

xlVf (a)]r(a)da S{xlVf (a)])(c, + c2)

S(x)

(IX. 4. 26)

Итак, мы получим дифференциальное уравнение первого порядка

Аро-1 = Аро-1 (О = Ф f F, ) = ¥ (F), (IX. 4. 27)

<Тф

¥(F) = -f F

xlVf (a)]f"(a)da S{x[Vf (a)])(c, + c2)

4-12

S(x)

•yу

I * 2

Рис. IX. 15.

При этом начальное условие имеет вид F = О при < = О, а Оф остается постоянной.

Формулой (IX. 4. 26) можно пользоваться до момента прихода фронта к концу пласта, т. е. когда Хф /. Рассмотрим вторую фазу

двухфазной фильтрации после достижения фронтом конца пласта (рис. IX. 15):

Дро-г = Ро (О - VI (О =

<?(«)

5(х)(с1 + сг)

(IX. 4. 28)

Из формулы (IX. 4. 23) получим

l=x{Vr{pi)\ (IX.4. 29)

где ог - насыш,енность в конце пласта, являющаяся функцией F.

Интегрирование уравнений (IX. 4. 27) и (IX. 4. 30) не вызывает никаких принципиальных затруднений и сопряжено только с численным или графическим выполнением квадратур. Некоторые задачи рассмотрены в работах [9, 15, 16].

§ 5. Одномерная фильтрация двухфазной жидкости с произвольными массовыми силами

Одномерное движение двухфазной жидкости с произвольными массовыми силами без учета капиллярного давления описывается следующими формулами

(IX. 5.1)

Q2 = -.h(--.X]si.),

дх J

где X-проекция ускорения массовых сил на направление течения X.

Считая жидкости несжимаемыми, уравнения неразрывности можно представить в виде

5Qi „ , ч до - = "S[,x)-j,

dF -di-•

Из (IX. 5. 2), как мы уже имели раньше,

= о, (?х -Ь <?2 = <?(0- (IX. 5. 3)

Выразим расход через Q{t):

Q{t) = -k{с, + C2)~S (х) + kS {х)Х(Qici + Q2C2), (IX. 5. 4)

К (о) 2 ()

Отсюда

др -Q(t) + kS(x)X(QiCi + Qc) .

-17 - kS (х)(с, + с,)- • (1А.Й.О)

Подставляя (IX. 4. 24), (IX. 4. 25), (IX. 4. 29) в уравнение (IX. 4. 28), получаем

Лп„ (А - 1 F Р x [Vf(a)]f"(a)da ,

Apo-i{t)--j-V s{x\Vf(a)]\(c, + c,) (iX.4.30)