Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

[ 0 ] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108

механика насыщенных,пористых сред

Многие среды сложены из отдельных микрочастиц, размеры которых гораздо больше молекулярных расстояний. Каждую из этих микрочастиц можно рассматривать как сплошную, т. е. характеризовать ее плотностью, давлением и т. д. и задавать на ее границах условия взаимодействия с соседними частицами. Однако при исследовании движений, масштабы которых несопоставимо больше характерного размера d микрочастиц и характерного расстояния между центрами микрочастиц d,,, в качестве элементарного макрообъема среды AF (т. е. макроточки среды) выбирают объем, включа-юш,ий в себя множество микрочастиц. Выбранный таким образом элементарный макрообъем считают заполненным сплошным материалом среды и его движение описывается уравнениями неразрывности, массы, импульса и энергии.

Насыщенная жидкостью или газом пористая среда, с точки зрения механики сплошной среды, - это по существу двухфазная сплошная среда, одной пз фаз которой являются частицы жидкости, а другой - твердые частицы скелета среды. Учет этого обстоятельства позволяет изучить особенности движения среды, вносимые резким различием механических свойств составляющих эту среду частиц. Разбиение всех перемешанных между собой частиц на два класса, соответствующих каждой из фаз, использует тот факт, что различие между частицами одного класса гораздо менее существенно, нежели отличие каждой нз них от частицы, принадлежащей к другой фазе. При этом фактически предполагается, что все пространство элементарного макрообъема заполнено двумя сплошными средами, взаимопроникающими и взаимодействующими друг с другом.

Элементарный макрообъем AF = AxlXolx, т. е. рассматриваемая макроточка среды х, Хо, х, характеризуется некоторыми средними (по находящимся в нем частицам) значениями переме-

щения, напряжения и т. д. В естественных пористых средах микрочастицы существенно различаются по своим свойствам, размерам, форме и образуют хаотически уложенный конгломерат. Поэтому будем считать, что величины смещений микрочастиц, микронапряжений и т. д. случайным образом меняются внутри AF, образуют случайные тензорные поля. Этому предположению соответствует способ статистического осреднения (по множеству реа.тизаций рассматриваемых полей).

Рассмотрим, например, случайную фунцию Х/{М, %), равную нулю, если произвольная микроточка М (х, х, х объема AF = = AjAaAg принадлежит твердой микрочастице, и единице, если точка М попадает в поровое пространство.

Второй аргумент функции X отражает ее случайный характер и является параметром множества реализаций. Действительно, принадлежность микроточки М той или другой области пространства AF априори неизвестна - если точка М с координатами j, х, Xg в объеме AF=i попала в поровое пространство, то в силу хаотичности, неопределенности строения конгломерата микрочастиц это еще не означает принадлежности той же области точки с теми же координатами, но в другом таком же объеме AF=2- Другими словами, функция X зависит не только от координат точки М, но и от выбора объема AF из множества реализацийподобных объемов AF.

Статистическое (среднее) значение X функции Х{М, %) определяется следующим образом:

X{M)=X{M,x)dx, й)с = 1. (1.1)

Если всюду Х{М) - X независимо от выбора точки М, то функция Х{М, %) называется стационарной случайной функцией.

Заметим, что, вообще говоря, могут встретиться образования, у которых случайная функция Х{М, х) не будет стационарна. Например, пусть в каком-нибудь сосуде помещено небольшое число шариков. Будем встряхивать сосуд. После каждого встряхивания шарики будут укладываться по-новому, будет получаться новая реализация упаковки. Если провести осреднение (1.1), то результат будет существенно зависеть от выбора координат Xi - у стенок и в центре сосуда величины X будут различны.

Для построения механики сплошной среды, как будет видно ниже, естественно пространственное осреднение: по объему

Xvix)-- XiM,x)dM, (1.2)

ПО плоскости

Xsix)-- \X(M,x)dM (1.3)

и даже вдоль линии

= J(M,x)M. (1.4)

Если результат осреднения (1.2) независим от выбора AV из множества %, то множество % состоит из однородных макрообъемов. Легко видеть, что если объем AF не настолько велик, чтобы включить в себя все возможные типы микрочастиц и вариации их укладки, то результат осреднения (1.2) зависит от параметра %.

Поскольку при использовании методов математической статистики требуется осреднение (1.1), а в механике сплошных сред осреднение (1.2), то необходимо выполнение эргодической гипотезы, т. е. равенства

Х(М) = Ху(х) (1.5)

независимо от выбора т и %.

Таким образом, элементарный макрообъем AF должен быть достаточно велик по сравнению с макромасштабом среды и достаточно мал по сравнению с внешним масштабом среды - в этом случае применимы методы механики сплошной среды.

Способ осреднения, вообще говоря, диктуется физической постановкой задачи. Для одних величин характерно осреднение по объему, для других (тензорных) - по плоскости. Рассмотрим несколько примеров. Пусть поровое пространство среды заполнено жидкостью с постоянной плотностью р2. Тогда средняя плотность среды рд будет определяться выражением

Ро=Ж (~XiM,x))pldM +

+ XiM,x)pldM={i-m)p\ + mpl. (1-6)

где р" - плотность твердых частиц; т = Ху - пористость среды.

Заметим, что если плотности, например, твердых микрочастиц неодинаковы, то р" в правой части выражения (1.6) имеет смысл средней по этим частицам величины.

На произвольном плоском сечении объема AF действуют суммарные (полные) напряжения Т. Они уравновешиваются средним (по плоскости, перпендикулярной оси /) напряжением сту в твердой фазе и средним (снова по плоскости) давлением р в жидкости

Tij = {l-n)aij-np8ij, (1.7)

здесь - единичный тензор; п - просветность рассматриваемого плоского сечения.

Аналогичное условие можно сформулировать и при использовании других типов осреднения, например типа (1.3) или (1.4).