Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [ 14 ] 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108

/f -С/Т", ViVT". Согласно соотношениям (5.24) и (5.35) имеем

Отсюда получаем

Щ ff/ 0(B(f*.-f.6,,))

T. e. 11 пренебрежимо мало по сравнению с если только граничные условия не таковы, чтобы Рц - Pifiii или = и,, на 5 - см. уравнения (5.31) -(5.32).

§ 6. СОПОСТАВЛЕНИЕ ПРЕДЛОЖЕННЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ

Впервые механизм деформации упругих насыщенных жидкостью пористых сред был рассмотрен, по-видимому, в работах К. Терцаги [206], где изучалась задача об одномерном плоском сжатии водонасьпценного грунта. Исходя пз опытных данных, Терцаги показал, что если жидкость может уходить пз образца грунта, то деформации его скелета вызываются «эффективным давлением» а?, связанным с суммарным давлением Г следующим соотношением: = Г - р. Если же жидкость не может уходить из грунта, то Г = р, а = О и деформации скелета пренебрежимо малы по сравнению с деформациями в первом случае. Из равенства можно видеть, что «эффективному давлению» а по Терцаги соответствуют фиктивные напряжения Сц, и если в обобщенном законе Гука (5.VII) пренебречь сжимаемостью материала твердых частиц (т. е. положить Pi = 0), то, как и в работах Терцаги, деформации е,-у окажутся связанными с фиктивными напряжениями.

Возможность предположения = const, рг = const (т. е. Pi = Рг = 0) была четко сформулирована в работах И. М. Герсеванова [46, 47] и названа им «принципом несжимаемости грунтовой массы». Кроме того, И. М. Герсеванов показал, что в условиях деформируемого грунта сила фильтрационного сопротивления пропорциональна разности истинных скоростей движения фаз.

Позднее в книге Н. М. Герсеванова и Д. Е. Польшина [47] была выписана система уравненпй, названная «общими уравнениями консолидации грунта в состоянии грунтовой массы». В эту систему входили уравнения сплошности фаз - и твердой и жидкой, - но в предположении о несжимаемости материала твердых частиц и жидкости, а также соотношениетипа закона Гука между фиктивными напряжениями и деформациями (аналогичные связи (5.V), но прп Pi = 0), причем перед введением этих связей система уравнений предварительно пе линеаризовалась. В системе И. М. Герсеванова - Д. Е. Польшина не вводилось понятие суммарных напряжений Г,.у и не выписывалось уравнение неразрывности импульса для всей пористой среды, а уравнения движения выписыва-,дись сразу для каждой из фаз в отдельности и имели в принятых здесь обозначениях следующий вид:

dw, . dw, \ , dp . am , , „ ,„

+ аху) ++VK-"/)-P2g. =0. (6.1)

Р, (l-m) (+"/ -g7) ---(u.-",-)-(l-)(Pi-P2)g, = 0.

(6.2)

Хотя уравнения (6.1)-(6.2) и дают в сумме уравнение неразрывности импульса (.3.22), но в отдельности они не совпадают с уравнениями (3.23) и (3.29).

Для того чтобы убедиться, что уравнение неразрывностп пмпульса для жидкости надо записывать именно в виде (3.23), а не так, как (6.1), достаточно рассмотреть хотя бы частный случай стационарного одномерного движения пдеальной жидкостп (1 = 0) в жесткой среде переменной пористости: т -= т (Х). Тогда уравнение (3.23) приводит к правильному виду уравнение Бернулли для струйки жидкости: Рз9/(2 т) + / + Pigz = const, где q = wm - расход жидкости; Z - высота над уровнем отсчета. В то же время из уравненпя (6.1) следует неверное соотношение P2gV(2 >") + р pgz = const.

Таким образом, в рамках упрощающего предположения о «несжимаемостп грунтовой массы» единственное расхождение системы Н. М. Герсеванова - Д. Е. Польшина с выписанной выше системой заключается в учете инерционных сил.

Уравнение движенпя жидкости с инерционными членами весьма часто рассматривалось в теории фильтрации. Прп этом иногда (см., например, [131]) оно записывалось в виде

dmwi , dwiiri dp „ .

+р""/ -щ- = - - +р"-

что, как легко видеть, неэквивалентно уравнению И. Е. Жуковского (3.23). Впрочем, поскольку в расчетах по уравнению (6.3) всегда пренебрегалось нелп-нейными схемами и, как прави.то, при оценке инерционных сил рассматривалась недеформируемая пористая среда, использование уравненпя (6.3) вместо (3.23) не приводило к ошибкам.

Если следовать работе Мокадама [153], то уравнение движения жидкости нужно было бы записывать в виде

(Р2)+ат( -P7P2"";) + "-P2?i==0, (6.4)

где Pij = -p8ij -j- т,.у, а компоненты Т/у связаны с полем макроскоростей W{ согласно обычной динамике вязкой жидкости [110]. Это соответствует моделированию фильтрующейся жидкости вязкой жидкостью, подверженной действию объемных сил трения. В уравнении (3.23) компонентами пренебрегают по сравнению с объемными вязкими силами и касательными напряжениями в скелете среды. Отметим также различие в учете инерционных сил уравнений (6.4) и (3.23).

Фундаментальная работа Я. И. Френкеля [215] была выполнена в связи с так называемым «сейсмоэлектрическим эффектом» [91] - см. § 12.

Я. И. Френкель прп построении предложенной им системы уравнений выписал уравнения движения для каждой пз фаз в отдельностп: сначала уравнение (3.23) для жидкости (квадратичными ч.тенами по скорости пренебрегалось) в эйлеровой системе координат

p,« + „,Jj + i О, (6.5)

а затем уравнение неразрывности пмпульса для твердой фазы

р, (1 „) + (1 ) JL = о, (6.6)

где X - коэффициент пропорциональности.

Уравнение (6.6) Я. И. Френкель интерпретировал как уравнение в лагран-жевой системе координат, связанной с частицей твердой фазы. В связи с этим он считал, что в уравнении (6.4) (1 - т) = const, тогда как в выражении (6.3) коэффициент рт, вообще говоря, переменен. Поэтому для жидкой фазы Я. И. Френкель выписал уравнение неразрывности. Да.чее, еще до линеаризации Я. И. Френкель выписывает линейную связь (5.V).

Уравнение (6.6), если интерпретировать его как записанное в эйлеровой системе координат, т. е. если добавить члены типа uidui/dXi и отказаться от условия pi (1 - т) = const, переходит в уравнение (3.25) - здесь х = = ат,- (1 - m)-i.

Поскольку Я. И. Френкель интерпретировал уравненпе (6.6) как записанное в лагранжевой системе координат, он не использовал уравнение сплошности твердой фазы (3.19), и чтобы замкнуть систему, он предложил некоторое соотношение для возмущения пористости

1 -"о (H-Kf)

-iaf t + M. (6-7)

где af = AFi/AF, {AV - «изменение объема единицы массы твердой фазы»; - «изменение объема связанных с ней пор»).

Я. И. Френкель отмечает,что параметр определяется «степенью пористости», но не связывает его с упругимп константами пористой среды.

Сравним соотношение (6.5) с выражением для а*, следующим пз уравнений (5.111), (5.V)

т = {1-то) (1-М) (г + М- (6-8)

Легко видеть, что соотношения (6.5) и (6.6) эквивалентны, если придать коэффициенту af следующее значение:

«/ = г¥#7?И (6.9)

1-PiA (I -mo)

т. е. а/ пмеет порядок К и для мягких горных пород С 1.

Существовало мнение, что замыкающее соотношеш1е (6.7) следует из определения величины af = AVJAV, если записать его в виде

и из уравнения неразрывности для твердой фазы

1 5(1 -т)р, , де де ,„,.,

71----я, +-5Г = 0. -3-=«dlVM. (6.11)

(1 -m)pi dt dt dt

Проверим справедливость этого утверждения. Прежде всего подчеркнем, что согласно изложенному выше соотношение (6.7) должно быть следствием - см. (6.8)-(6.9) - линеаризованного уравнения неразрывности твердой фазы и обобщенного закона Гука (5.V11). Действительно, характер изменений пористости в рассматриваемой моделп является следствием, а не исходным предположением; в этом ее кардинальное отличие от упрощенных теорий механики грунтов и упругого режима фильтрации. Поэтому обсуждаемое здесь утверждение по существу сводится к следующему: соотношение (6.10) заменяет обобщенный закон Гука (5.У1П); только в этом случае соотношение (6.7) будет эквивалентно недостающему в системе Я. И. Френкеля уравнению (5.111) или (6.11).

Поскольку Pi (1 - т) = (Fj -{- F.)"!, уравненпе (6.11) можно записать в виде

iL = 1 iilL±Iil = L fi + a,)- (6 12)

dt dt Fi-bF2 + °f dt • --

Изменение пористости тогда определится соотношением

dt V Fi-f-F2 j F1-J-F2 dt У1 + У2\У1+У2 dt

1 де де i-m(i-\-af) де

-Т.-(6-13)

1-faf dt dt l + af dt