Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 [ 11 ] 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108

где ai, aj - коэффициенты объемного расширения; с, - коэффициенты теплоемкости (при постоянном давлении) твердой и жидкой фаз, рассчитанные на единицу объема; а = 9/3.

Если пренебречь в уравнении (4.16) членом второго порядка малости /?; (гг;; - М;) и подставить в (4.16) и (4.17) выражения (5.3), (5.4), то уравнения сохранения энергии (притока тепла) примут вид

"а

(1 - о) 1 = (1 - о)1 (1 -гп,) аТ, + yi{T,-Ti),

(5.V>

ш,с, = m,D, ГТ, + таТ, -х{Т,-Т,). (5.VI)

Для замыкания системы уравнений (5.1)-(5.VI) нужно связать напряжения oj и давление р со смещениями (или деформациями) скелета среды. Деформации скелета пористой среды при малых смещениях определяются в эйлеровых координатах соотношением;

Выше было принято предположение, что изменения плотности материала твердой фазы определяются по изменениям среднего нормального напряжения 9/3 согласно законам, выполняющимся в сплошном материале. Воспользуемся этим для расшифровки связи деформация - напряжения, приняв, что полную деформацию можно представить в виде суммы двух слагаемых

и = Ь + Ь- (5-6)

Деформации еу связаны с изменениями плотности твердой фазы,

а деформации е/ определяются фиктивными напряжениями ау. Величину можно представить в виде

«=КЙ-0««=-4-т.. (")

а малые деформации (как и в обычной упругости) можно связать законом Гука с фиктивными напряжениями

ol,(l-m,)(Ke4ij + 2Kel), «ад + д+ф (5.3)

Параметры XJ, XI характеризуют переупаковку твердых частиц и являются функциями начального стационарного состояния. В самом деле, в частном случае среды с несжимаемыми фазами (pi = = const, р2 = const или 1 = 2 = О, = а2 = 0) ненулевыми оказываются лишь деформации efi = вц. Тогда из уравнений неразрывности (5.III) и (5.IV) следует, что deldt =

= -{m.J{l - Шо)) div W, т. е. объемные деформации скелета среды возможны лишь при уходе жидкости из среды, при возникновении более (или менее) плотной укладки твердых частиц.

Суммируя согласно формуле (5.6) выражения (5.7)-(5.8), полу-

= (1 - mo) {Xle8ij + IXle рЛГаб,. - a,K*T,8i,.). (5.9)

Однако простому измерению доступны не константа Я*, а следовательно, и не константа К* = XI + (2/3) Я, а те величины, которые характеризуют сухую пористую среду, где а,. = а, р = 0. В свя,зи с этим введем измеримый модуль всестороннего сжатия сухой пористой среды (1 - то) К = {I - тпо) К*/{1 + iK*) и запишем уравнение (5.9) в виде

ofj = (1 - mo) (V6,7 + 2V,. + ,Kp8ij - a,KT,8i,-), (5. VII)

где (1 - mo) 1, (1 - mo) A.2 - первый n второй коэффициенты Ламе сухой пористой среды {Х = Ю-

Соотношение (5.VII) можно получить из соотношений Гиббса (4.29) и (4.30) в линейном приближении в условиях термического равновесия, предполагая (для оценки величин коэффициентов в линейных связях), что при равенстве фазовых напряжений каждая из фаз деформируется так, как если бы все пространство было занято только ею, а при поровом давлении, равном нулю, коэффициенты упругих связей соответствуют однофазной твердой среде, но при таком же ее распределении по пространству, как и в присутствии жидкой фазы. Соответствующие выкладки проведены в работе [80].

Теперь приведем предложенную Брутсаертом [265] систему линеаризованных уравнений движения неполностью насыщенной пористой среды, являющейся по существу трехфазной средой (твердые частицы + капельная жидкость -f газ). Уравнения движения твердой, жидкой и газовой фаз имеют вид

<Oij ди-

» = рт» - Гз, - и,) г («, - Vi), (5.10)

3 = Рт» ~ {Vi~Ui) - г ,g - Vi)

и дополняются уравнениями неразрывности и тремя линейными соотношениями, обобщающими для трехфазной среды соотношения (5.16):

Ot,- = (1 - mo) (V6,; + 226,) + (Сз,е< + C,e),

p, = C3,e-fC,e + Cg,e3, (5.11)

p,=C,,e + C,ie + C,e»\

где p, Рз - давления; е, е" - деформации жидкости и газа; т° - объемные фазовые концентрации (m" -\- ml = тд - пори-

стость среды); Cg, Cj - упругие коэффициенты; г, г, - коэффициенты межфазового взаимодействия.

Подчеркнем, что Брутсаерт [2651 не выписывает уравнений энергии (см. § 4), хотя и указывает существенность для этого случая температурных эффектов. Далее, Брутсаерт принимает, что каждая пора занята либо газом, либо жидкостью, в связи с чем полагает

= 0. Если это так, то коэффициенты r,g, г, нетрудно интерпретировать через фазовые проницаемости /з {S), / о (S)

где S = mlm - насыщенность порового пространства жидкой фазой; [Xj, р-з - вязкости жидкости и газа.

В задачах динамики малых возмущений естественно линеаризовать связи (5.12), полагая в этих коэффициентах 8 = 8 = т1!т = = const.

Давления Р2 Рз связаны между собой известным соотношением Рг ~ Рз Рс Ф), где Рс, [S) - капиллярное давление (см. рис. 22, часть II), причем суммарное давление распределено между фазами по следующему правилу: Г,/= т\ац - {тр -г т-зр) - см. [165], а также § 21.

Много исследований было посвящено проблеме вычисления упругих констант пористой (сухой и насыщенной) среды, причем использовалось понятие зернистой среды. При этом авторы пытались свести проблему к вычислению элементарного взаимодействия, происходящего на контактах упругих шаров. Подробный обзор работ этого направления был выполнен Дересевичем [59]. Будем пользоваться, однако, экспериментально определяемыми значениями упругих коэффициентов.

Подчеркнем следующий, фундаментальный для анализа поведения грунтов и горных пород факт.

Соотношение fi г является механической характеристикой горной породы - критерием степени уплотнения грунта или степени сцементированности горной породы [167].

В самом деле, указанное соотношение имеет простой физический смысл, поскольку - сжимаемость материала твердой частицы;

- эффективная сжимаемость всего конгломерата твердых частиц (скелета среды) в целом.

Будем называть пористую среду мягкой, если е <С 1. Чем ближе е к единице, тем труднее переупаковываются частицы, тем жестче они связаны друг с другом. Пористую среду, у которой iK{l - m) = = 1, назовем идеально сцементированной пористой средой [168].

Примером мягких сред являются слабо сцементированные пески, грунты, залегающие на поверхности. В самом деле, они сложены из крупинок твердых минералов, в основном кварца, у которого Pl 10~ Пат, тогда как у грунтов порядок величин К оценивается в 100-1000 ат U8].