Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 [ 22 ] 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108

Прежде всего заметим, что если потенциал волн Ф удовлетворяет обобщенному релаксационнол1у акустическому уравнению

даФ „ азф \ I 1 / а2ф „ оф

dt \ dt2 " дх2 X \ "0 gj:2

(где X - характерное время запаздывания; гсо, v„ «замороженная» и «равновесная» скорости звука), то для скорости распространения монохроматической акустической волны частоты м и ее коэффициента затухания будут справедливы соотношения [101]:

1--т2со2

1 С02

(8.25)

1+т:2со2 у/, 1+г2т2оз2/1;а

Сопоставление выражений (8.25), (8.26) с соотношениями (8.7) и (8.10) показывает, что формулы (8.7) и (8.10) следуют из (8.24), если Vo = (РРо)~/% г;сх> = Фроэ), х == aoPiPa (imoPo)~ р = = PiP2(moPco) - Отсюда, в мягких средах волна первого рода определяется только суммой сжимаемости материала фаз. Прп этом каждая из фаз, находящаяся в элементарном макрообъеме, деформируется независимо от деформаций другой фазы, т. е. так, как если бы все пространство элементарного макрообъема было бы занято сплошным материалом рассматриваемой фазы. Это может быть при условии равенства фазовых напряжений. Таким образом, продольная волна первого рода в мягких пористых насыщенных средах является волной равных фазовых напряжений (волной давления).

Этот вывод согласуется с результатом § 5, где уравнение (8.24) было получено из общей линеаризованной системы уравнений методом инспекционного анализа (при Ф = р ~ см. уравнение (5.29)). Там же отмечалось, что уравнение (5.29) есть эквивалент линеаризованной системы уравнений X. А. Рахматулина [4, 98], которую - см. уравнение (5.23) - можно также представить в виде

dt dt ~ X -l

где = (1 - mo) + moWi, poU = (1 - mo) Pi, + moPaU,-Отсюда видно, что релаксация происходит в силу неравенства средних объемной и массовой скорости движения среды. При мт ->-0 звук будет распространяться со скоростью Vo в условиях равенства объемной и массовой скоростей: = F. При мт -> оо звук распространяется со скоростью г;со, причем здесь С/,.ро = Fpc.

Нетрудно показать, что первое из условий эквивалентно условию равенства объемных фазовых скоростей Ui = u,-, а второе - равенству массовых скоростей фаз ры = Рг",- Релаксация объясняется различием инерционных свойств фаз.

Выше (см. § 7) было показано, что система уравнений поперечных волн также сводится - см. уравнение (7.21) - к релаксационному уравнению (8.24) при замене Ф на % и при =

= Vk (1 - "о) PoS г;,со = V?2PiS = РхРго • (Р«оРо)"-

Различие в эффективной плотности среды при распространении поперечных волн объясняется тем, что минимальной скорости поперечных волн (сот 0) соответствует условие равенства объемных фазовых скоростей (а,- = Wi), но максимальной - обращение в нуль скорости жидкости = 0). Последнее связано с тем, что жидкость в рамках рассматриваемой модели не воспринимает касательных напряжений.

Таким образом, при динамических воздействиях на водонасыщенные грунты сообщенный импульс первоначально распределяется равномерно по всем фазам, которые воспринимают соответствующее напряжение. Среда приходит в неравновесное, «заморолченное» состояние, которое реализуется при высоких частотах колебаний, когда обмен импульсом между фазами не успевает произойти. Механизм объемных сил взаимодействия за характерное время релаксации т приводит среду в равновесное состояние. Равновесие характеризуется условием равенства нулю межфазного взаимодействия и реализуется при низких частотах колебаний, когда обмен импульсом совершается как бы мгновенно.

В 1954 г. Шамбрэ [235] предложил вывод формулы для скорости плоских волн в двухфазной смеси. Он фактически принял гипотезу о равенстве давлений в фазах и неизменности состава смеси. Последнее, как легко видеть, означает равенство фазовых скоростей. Воспользовавшись лагранжевой системой координат, связанной с частицей неизменного состава, Шамбрэ получил следующее эффективное выражение для скорости звука:

(Pi (1 -mo) + P2"o) (Pi (1 -mo) + p2mo)

. . (8.28)

Р/ dp p.cj

где - скорость звука в чистой i-ой фазе.

Шамбрэ считает, что формула (8.28) справедлива для возмущения произвольной амплитуды, тогда как в предыдущих работах Вуда [329] и Урика [321] соотношение (8.28) выводилось только для возмущений бесконечно малой амплитуды, причем соотношение Р = Pi (1 - т,) -Н т принималось без обоснования.

Г. М. Ляхов [133-135] в своих исследованиях ударных волн в многокомпонентных средах также принимал гипотезу о равенстве фазовых напряжений, а также предполагал равенство фазовых объемных скоростей. Полученные результирующие формулы i (см. § 18) Г. М. Ляхов применял к грунтам как

1 Для случая полностью насыщенных сред они переходят в формулы (8.28).

полностью насьнценных, так и при наличии защемлённого воздуха. Таким образом, строго говоря, исследования Г. М. Ляхова применимы к мягким грунтам при весьма малом содержании воздуха (сжимаемость фаз должна быть существенно меньше сжимаемости переупаковки - см. § 9), причем инерционная релаксация выпадала нз рассмотрения - рассматривалось только равновесное состоянпе среды. Поэтому сохранение различных фазовых скоростей в модели, как это было предложено X. А. Рахматулиным [186], приводит к более общим результатам.

Система уравнений X. А. Рахматулина использовалась для анализа звуковых волн в работе [98]. Ее автор Я. 3. Клейман рассматривает плоские периодические волны, распространяющиеся в среде, от источника гармонических колебаний, помещенного в начало координат х = О я меняющего в этой точке давление по закону р (О, t) = А cos wt. При этом отмечено, что при весьма больших частотах скорость и коэффициент затухания не меняются с частотой.

Согласно приведенному здесь анализу эти результаты применимы в некотором диапазоне частот (см. § И) для продольных волн первого рода в мягких пористых средах.

Уравнение (8.24) аналогично уравнению распространения звука в релакси-рующем газе (из-за химической реакции замедленного возбуждения степеней свободы частиц и т. д.).Аналогия релаксации в гетерогенной среде, порождаемой различием инерционных свойств фаз (на примере взвешенных инородных частиц в жпдкостп и самой жидкости), с релаксацией, определяемой существованием неравновесного параметра состояния в многоатомных газах, по свидетельству работы [194], была установлена акад. Л. И. Мандельштамом. В связи с этим заметим, что в достаточно разбавленных суспензиях каждая взвешенная частица окружена частицами жидкой фазы, взвешенные частицы не контактируют друг с другом. Поэтому для таких сред допустима математическая двухфазная модель (см. § 3), согласно которой средние фазовые давления равны. Таким образом, здесь будут справедливы условия, приближенно выполняющиеся в волне давления в мягких насыщенных грунтах и горных породах. Воспользовавшись этим, сразу можно Сделать вывод о том, что выражения (8.25)-(8.26) выполняются для продольных волн в разбавленных суспензиях. Используемые в выражении (8.26) значения уо, оо отмечалось при анализе формулы (7.19), были выписаны именно для суспензий Геертсмой и Смитом [293]. Заметим также, что, например, соотношение (8.25) можно переписать в виде

v2 = ° °° „ - (8.29)

1+1/ 1+

и оно перейдет в выражение типа (7.18) Геертсмы и Смита при i»§-(- ;/x2q)2> > (у - vl) ти". Это условие может нарушаться при промежуточных значениях ха>, но выполняется при ти О и при хш оо. Поэтому из соотношения (8.39) Геертсма и Смит получили правильные асимптотические выражения для Vo и v.

Анализ характера поперечных колебаний в разбавленных суспензиях твердых частиц в вязкой жидкости требует учета собственного вращения взвешенных частиц, что связано с введением методов асимметричной гидромеханики

Рассмотрим теперь относительно медленные динамические процессы в мягких насыщенных средах (или же суспензиях), когда Т > т (Т - характерное время процесса). Для изучения таких процессов (например, звука малых частот) можно воспользоваться «вязкостным приближением» Л. И. Мандельштама и М. А. Леонто-

1 См. примечание на стр, 280.