Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 [ 18 ] 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108

с другой стороны, имеем

e.M.je""". - = ±/А. (7.9)

со у " со

Из сопоставления этих выражений получим результирующие формулы Я. И. Френкеля для нулевого (по сот) приближения г;о, для скорости волны Уд и коэффициента затухания первой волны

= /= РР + [ 1 - Р, (1 - то)г}" (7.10)

li -xf Др1р7 . тсог 1 у/ Др1рг -t.l-t ,71/ д

Pi(l-mo)(2-Pi)-i-

(7.11)

Соотношения (7.10)-(7.11) совпадают с формулами (33а) и (40а) работы Я. И. Френкеля (215], если в последних заменить параметр tty выражением (6.9). Кроме того, формула (40а) работы [215] .доумножена на коэффициент РхРзо (1 - о)-

Био [257] начинает анализ дисперсионного уравнения для продольных волн с рассмотрения «чистоупругих» волн, соответствующих среде, насыщенной жидкостью с нулевой вязкостью (ц = 0). Соответственным образом упрощенное дисперсионное уравнение позволяет Био сделать существенное замечание: в волне первого рода смещения твердых и жидких частиц происходят в одном ж том же направлении, а в волне второго рода - различны по знаку, причем большей скоростью распространения характеризуется волна первого рода. Био выделяет также характерный случай равенства фазовых скоростей - соответствующая волна распространяется со скоростью = у HIpf, (см. табл. 2).

Отметим, что если воспользоваться данными табл. 2 (§ 3), то легко установить совпадение этого результата Био с выражением (7.10) для о, полученного Я. И. Френкелем.

Далее Био переходит к рассмотрению монохроматических волн в условиях объемного вязкостного взаимодействия, но ограничивается (см. далее §11) рассмотрением частот меньших, нежели / = nv/4d, где v - кинематическая вязкость жидкости (для воды / = 10" гц при d = 0,01 см и f = 10* гц- при d = 0,001 см).

Для продольных волн с затуханием Био выписал общее дисперсионное уравнение, затем привел примеры численных расчетов для скоростей волн первого и второго родов малых частот для некоторых наборов констант, причем в одном из примеров (при Ри = 0) у Био получилась уменьшающаяся с ростом частоты скорость распространения волны первого рода. Кроме того, Бпо выписывает приближенные аналитические выражения (получающиеся весьма громоздкими) для скорости и коэффициента затухания волн при малых частотах и отмечает диффузионный характер волн второго рода. Подчеркнем, что в пределе, при со -»- О, Био приходит к выражению для скорости волны первого рода, причем при интерпретации упругих коэффициентов Био согласно § 6 это выражение в точности совпадает с формулой Я. И. Френкеля (7.13).

Геертсма и Смит [293], выразив упругие константы Био через сжимаемости фаз, попытались упростить общее дисперсионное уравнение для продольных

волн. Геертсма и Смит отмечают: можно показать, что для большинства горных пород (Ь/2а) > 1, где к - проницаемость породы, L = R/m,

Р22 , р Pl2+P22 H - {i - mo) (Я1+2А.2)

"I Я mo Н

шкро

( P22 P12 + P22 у 1

co/cpo

(7.12)

(l-m„) (A,x + 2) a"i

P12+P22 1

- j.

mo у p§ Acopo

(7.13)

Отсюда они находят следующие значения корней дисперсионного уравнения:

2Ь =

а2 •

(7.14)

Далее приняв, что для волны первого рода выполнено условие относительной малости величины Яб (где Я - длина волны, б - коэффициент затухания с пройденным расстоянием), Геертсма и Смит получают

Ядба

lo/i-

V А:со.4р J V Ц У Ig

„2 -Ро + Ярс-2Р2 (g-(l-mo)/P) PoPc-pi

. РоРс -Pa

~~~рГ~

(7.15)

(7.16)

(7.17)

Геертсма и Смит отмечают, что выражения (7.15)-(7.16) совпадают с формулами для скорости и коэффициента затухания в материале, связь деформаций с напряжениями которого схематически представляется «стандартным реологическим элементом» [101, 293].

Запишем выражения (7.15)-(7.17) в принятых здесь обозначениях, принп-мая в согласии с § 3, что pij =" 0. Тогда

1 со

-"оэ + "о(МТ)-г

2 Ia 1

1 ([l-(l-mo)(3iX]2 1-mo) Я " Po I (5 В I Po

PlP2 1 -mo

1 f "0 I 1-mo

P \P2

-- -2(l-2mo)PiK + (l-mo)a

(7.18) (7.19)

(7.20)

Соотношения (7.20) существенно упрощаются для суспензий - согласно Геертсма и Смиту [293] в этом случае Сь = {(1 - пг„) А}-1 = 0, 2 = Pi2 = О (см- также § 8).

Тогда (в принятых здесь обозначениях) имеем

Обратимся теперь к закономерностям распространения поперечных волн. Потенциал поперечного сдвига можно найти путем решения системы уравнений (7.2).

Заметим предварительно, что система уравнений (7.2) сводится

к уравнению (5.38) относительно, например, потенциала г]?!

l(#-rV?.)+i(%-v4.)-».

типичному уравнению динамических процессов в релаксирующих средах. Если ввести характерное время процесса Т (например, время полного периода колебания в волне), то из уравнения (7.21) сразу следует, что при быстрых процессах (т > Т) поперечные колебания распространяются со скоростью 2;soo = T/2/pi, а при медленных (г< Т) - со скоростью г;, = (1 - то)/ро- Отсюда видно, что в этих предельных случаях модуль поперечного сдвига Яг (1 - о) один и тот же, но эффективная плотность среды разная: при быстрых процессах это только плотность твердой фазы Pi (1 - /Пц) на единицу объема всей среды, а при медленных - средняя плотность всей среды рц. Другими словами, при т > 7 колеблется только скелет пористой среды, а при х< Т - обе фазы среды. Откладывая дальнейший разбор этого эффекта до § 8, перейдем теперь к выводу и анализу дисперсионного соотношения. Будем искать решения типа

ij)i = il)Jexp (Ш - щх), \р2 = \р1 ехр (Ш - щх).

Тогда из системы уравнения (7.2) следует дисперсионное уравнение, которое Я. И. Френкель представил в виде

pamo" P"ig(l -mo)

(напомним, что коэффициент х в уравнениях (6.5), (6.6) Я. И. Френкеля равен: х = аотщ (1 - тпо)-). Я. И. Френкель выписал решение (7.22), справедливое для малых частот, и получил отсюда следующие формулы для скорости распространения vo и коэффициента затухания бо:

v.o = V п -i/Oz:, (7.23)

У (1-то) PIT-торг Г ро

Oso- 2 (1-то) ро so