Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 [ 50 ] 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108

б. Гипотеза о постоянстве нормальных компонент горного давления ( «граничное» условие типа I)

Эта гипотеза была сформулирована в статье Г. И. Баренблатта и А. П. Крылова как гипотеза о постоянстве всех компонент горного давления: «Предположим, что давление на кровлю пласта остается постоянным во времени, т. е. что суммарное напряженное состояние в системе жидкость - пористая среда не меняется со временем. Пренебрегаем, далее, перераспределением касательных напряжений в пористой среде, вызываемых перераспределением давления в жидкости, т.е. будем считать, как это делается в теории консолидации грунта, что изменение давления компенсируется изменением нормальных напряя;ений» [10]. Математически это означает, что Г = const, i, j = х, у, z.

Запишем соответствующее предположение в виде

Г, = const; г = 7, (18.10)

понимая его как условие неизменности нормальных комнонент горного давления.

Условие (18.10) можно записать для возмущений исходного напряженного состояния в виде

Y = al-p(l-mo) (+ гЛе/) + фК(l-mo)-i] р = 0, (18.11)

откуда следует соотношение, определяющее объемные деформации

(1-то) (+ 2X26,,.) = [ 1 р,/ (1 -що)] рбц, (18.12)

соответствующие изменению пластового давления на величину р. При этом реализуется гидростатическое сжатие скелета среды (при отборе жидкости р < 0).

При указанных исходных предположениях должны быть удовлетворены уравнения движения для жидкости

+ -mo{l-mo){wi-Ui) = 0 (18.13)

дх, oq

и уравнение, получающееся из уравнений неразрывности фаз (5.III)-(5.IV) после исключения пористости

Фг{-п1,)+2Гщ] + то + (1-Шо)-- = 0. (18.14)

Применяя к уравнению (18.13) операцию дивергенции, но.тучим

V/+--o(l-о)(-)=0. (18.15)

причем в силу уравнения (18.14) уравнение фильтрации (18.15) сводится к следующему:

5jo/a< = KiiVjo. (18.16) 1 P(l-mo) /й I l-piJT , l-(l-mn)pig\

где Xji - коэффициент ньезопроводности, который определяется упругими константами среды.

Принятие каких-либо дополнительных предположений, кроме условий (18.10), в том числе и о касательных напряжениях, означает переопределение задачи. Так, при неодномерных деформациях горных пород необходимо учитывать, помимо уравнений (5.1)-(5.IV), (5.VII), уравнения совместности полных деформаций. Например, уравнение совместности деформаций в плоскости пласта имеет вид

ееп , а2.22 2

дх\ дх\ dxidXi

Согласно выражению (18.11) деформации е, равны и линейно связаны с давлением р. Если касательными напряжениями можно было бы пренебречь (*12 = 0)i то уравнение совместности свелось бы к уравнению Лапласа VP = О в плоскости пласта. Отсюда уравнения совместности деформаций выполнялись бы только в стационарных течениях, когда к уравнению Лапласа сводится и уравнение пьезопроводности (18.16) для плоской фильтрации. Поэтому условие постоянства горного давления в теории упругого режима фильтрации следует формулировать только для нормальных компонент - касательные изменяются согласно (18.17); отбор жидкости может привести к возникновению весьма существенных касательных напряжений в скелете породы.

Отношение третьего члена выражения (18.16), стоящего в квадратных скобках, к первым двум, как нетрудно показать, равно

Idivifl тр 1 -Pig(l-то) . MR 18

dlvu; 1-mo l-h(moP2Pr-l)Pi Уо.о)

Пусть для частиц песчаника Pi = 5-10"* ат~, для воды 2 = = 4,4-10" ащ". Для нефти в пластовых условиях, по данным [152], сжимаемость может достигать значения ~ 8-10"* ат. Поэтому для реально встречающихся значений пористости (mpPj/Pi) 1- Таким образом, с ростом сцементированности пористой среды (т. е. с увеличением К) величина А уменьшается. Если положить тпд = 0,2, то для указанных выше значений Pi, Pj величина А =0,1 соответствует значению iKi==iO,i при насыщении среды водой и PiA = 0,3 для нефтенасыщенной среды. Это говорит о том, что при PiT 0,3 0,4 (и более) можно с достаточной точностью писать

1 р(1 -то)

хц ао

mof,2--]- (18.19)

Выражение (18.19) можно получить непосредственно пз системы уравнений (18.12), (18.14), условия (18.10) и уравнения движения (18.13), если пренебречь в последнем скоростью смещения твердых частиц Ui по сравнению со скоростью жидкости В уравнении

(18.14) величиной (1 - Шд)-{deldt) по сравнению с тпр div w пренебрегать нельзя. Действительно, при тпр = 0,2, К 0,3 -f-0,4 имеет место оценка

1-т Hiv l-P.ig(l-mp) "в Idivl l + (moP2Pii -DPi

Величину (1 - Pif)/L можно интерпретировать как сжимаемость породы Рп.

Таким образом, используемый обычно вывод уравнения упругого режима фильтрации [241] справедлив для сцементированных пористых сред (е 0,3 -ь 0,4). Для более мягких сред уравнение пьезопроводности сохраняется, однако смещения скелета породы здесь существенны. В мягких средах Xjj = аК/ц.

Геертсма считает, что в пластовых условиях реализуется гипотеза I, а в экспериментах по сжатию образцов - гипотеза 11 [292]. В связи с этим он отмечает, что в условиях пласта сжимаемость порового пространства будет меньше: примерно равна половине сжимаемости, измеренной в лабораторных условиях (5 = (1 + v)/(3vA) = 2/Z, V = 0,2).

Существенно, что подходы I, II приводят к уравнению одного и того же типа - уравнению пьезопроводности. Поскольку в реальных условиях величина параметра х определяется по наблюдениям за нестационарным притоком к скважине, различия указанных локальных формулировок гипотезы о постоянстве горного давления представляют ограниченный интерес.

Рассмотрим теперь уравнение сохранения энергии, которое должно выполняться при упругом режиме фильтрации [78]. Ввиду медленности этого процесса температуры фаз в каждой точке будем считать одинаковыми {Т = Тг=Т).

Будем полагать, что К 0,2, отсюда

divzli> divw, w > гГ. (18.21)

Скорость жидкости W можно считать величиной малой первого порядка и пренебрегать в уравнении энергии членом, пропорциональным (учитывающим кинетическую энергию жидкости). Сла-

гаемыми вида w grad Т, w grad р пренебрегать нельзя, так как grad р и grad Т, вообще говоря, могут не быть малыми величинами.

Если W п div W считать величинами первого порядка малости,

-> ->

то ввиду условий (18.21) и и div и нужно считать по крайней мере величинами второго порядка малости. В условиях упругого режима

поскольку изменения объема из-за температуры незначительны. Отсюда из уравнения неразрывности для твердой фазы

(1 -m„) + (1 - Шо) div и = О (18.23)

следует, что dm/dt div и при К 1. Выше было показано, что именно при PiA 1 имеет смысл учитывать деформации скелета. Поэтому уравнение сохранения энергии для твердой фазы следует записывать так же, как для слабых возмущений - см. уравнение