Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 [ 3 ] 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108

замечена и использована для обоснования диффузионного характера процесса Шепдеггером [236] (см. также [8]), где проведен подробный обзор имеющихся по этой проблеме работ Название «конвективная диффузия», предложенное в работе [160], объясняется тем, что порождающие диффузию случайные блуждания существуют только при наличии конвективного переноса, т. е. при отличной от нуля средней скорости фильтрационного потока. Так как в распределении (2.13) фигурируют макрокоордпнаты, это позволяет принять, что в начальной точке Xi = Х2 = Хз = О находилось множество меченых частиц, и отождествить плотность вероятности попадания меченой частицы в какую-либо точку с концентрацией частиц, попавших в нее в тот же момент временп.

Случайное поле локальных скоростей в пористой среде будет осесимметрично изотропно, оно будет иметь ось симметрии - направление средней скорости. В самом деле, область течения (изотропная пористая среда) существенно неподвижна, а направление средней скорости, задаваемое ортом wl, является единственным характерным направлением, неравноправным с другими направлениями.

Рассмотрим скалярную величину Ddibj, где й,, Ь/ - компоненты произвольных единичных векторов. Эта скалярная величина в силу инвариантности относительно жестких вращений и зеркальных отображений конфигурации векторных аргументов й,, bj, w% зависит лишь от углов между ними, так как модули рассматриваемых векторов rfj-, bj, U7fe равны единице. Поэтому

Dijdfij = ф (ЙД., dyi, bwl). (2.16)

Но так как левая часть уравнения (2.16) линейна относительио произведения то должно выполняться равенство

Dijdpi = Bdjji + AdiwtbjW). (2.17)

Отсюда коэффициент диффузии как осесимметрично изотропный тензор имеет вид

/),у = Л2м;5 + Бб,у, (2.18)

где А, В - скаляры, возможные функции четных степеней век-- *-

тора ю.

Если сама среда анизотропна, например, имеет одно характерное нанра-

->-

вление г, (в естественных осадочных горных породах вектор г перпендикулярен плоскости их напластования), то для коэффициента Вц аналогично следует выражение

= AuiwO. + Вбг/ + CriTj -f Ewj + FuP.ri. (2.19)

Рассмотрим теперь течения, в которых, например, можно в локальном масштабе пренебречь инерционными силами. Учтем также, что конвективная диффузия динамически нейтральной примеси независима, по предположению, от величины коэффициента молекулярной диффузии Dq. Поэтому характерными параметрами процесса будут средняя скорость w, вязкость жидкости р, и геометри-

1 См. также работу [187], в значительной степени предвосхитившую более поздние исследования Шейдеггера.

ческис характеристики внутренней сктруктуры среды - безразмерные или же имеющие размерность длины. Соответственно коэффициент конвективной диффузии, имеющий размерность см/сек, не будет меняться при изменениях плотности жидкости р или и будет равен произведению средней скорости и какой-то, пока пе известной нам, величины, характеризующей внутреннюю геометрию среды и имеющей размерность длины. Эта величина будет постоянна при изменениях средней скорости в области безынерционных движений, так как зависимость ее от скорости может быть выражена лишь в виде зависимости от осредненного числа Рейнольдса Re = pwd/\i, которая невозможна -- иначе величина плотности жидкости будет влиять на процесс перемешивания (здесь d - характерная длина, например средний диаметр зерна).

Таким образом, коэффициенты А, В в данном диапазоне течений пропорциональны модулю средней скорости и фундаментальное соотношение (2.18) принимает вид

WiWi ->-

Dij = {X,-l,)-l + l,\w\8ij, (2.20)

где Х-, 2 - соответственно продольный и поперечный параметры рассеивания среды, постоянные размерности длины (см. [160], а также [252]).

Весь диапазон изменений средней скорости (при смещении твердой фазы - относительной скорости) можно разбить на следующие пять характерных интервалов.

1. При крайне малой скорости (wd •С о) перемешивание чисто молекулярное, конвективная диффузия незначительна.

П. При несколько большей скорости (wd ~ D) молекулярное и механическое перемешивания взаимосвязаны.

III. Скорости более значительны (wd >> £>„), но течение еще локально безынерционно; X; = const.

IV. Скорость еще больше. Re >> ReKp, инерционные силы в локальном масштабе взаимодействуют с вязкостными, Xi = (Re).

V. Скорость весьма значительна, вязкостные силы малы по сравнению с инерционными, снова Xj = const.

Большое число экспериментальных работ (см., например, обзоры [8, 100] показывают, что действительно в областях предельной автомодельности существует линейная зависимость коэффициента диффузии от средней скорости потока. Характерны следующие цифры: li = 0,127 см = 14,3 полученные в работе [28] в опытах по фильтрации воды (интервал III) в речном песке.

Если представлять среду в виде набора параллельных капиллярных трубок, то коэффициент диффузии был бы пропорционален квадрату средней скорости (см. по этому поводу [8]). Таким образом, хаотическое расположение поровых каналов и случайность их размеров преобладают в определении макрозаконов движения над свойствами реализуемого в каждом канале пуазейлевского течения; движение п пористых средах нельзя свести к движению в отдельной трубке или щели.

Уравнение (2.14) в неподвижной системе координат в областях предельной автомодельности III и V по числу Рейнольдса имеет вид

дС д

"ж-ох; iiM.. --в I н s,.j -i;)-.iir (2-21)

и для плоских течений может быть записано [162] в координатах ф, где ф - потенциал {w = -gradq)); i5 - функция линии тока (макр одви жения):

дС ] дС

дС dt

Попытаемся теперь связать параметры рассепванпя Х, с осредпенными характеристиками поля локального тензора ац пористой среды. Для этого снова вернемся к рассмотрению среднеквадратичного перемещения Эта величина может быть представлена в виде

/ t у t t

xf= Jt;f(T)dT == \ j Ш "! (x-i) dxi dr2. (2.23)

\o /00

Для больших времен выражение (2.23) можно преобразовать к следующему виду:

t t

xj2{vfyi I {t-x)Ri(x)dx2{vfy t Ri{x)dx, (2.24)

где Ri(x)= (fi) vf (x)/{vi) - лагранжев коэффпцпент корреляции компоненты vf = Vl - и>1.

Соотношение (2.24) справедливо при \w\tpd, где d - выбранная каким-либо способом характерная длина микроструктуры, например средний дпаметр

зерна. Величина d одного порядка с величиной Z,,- и; = I f ! J (f) •

Здесь Li можно назвать, пользуясь терминологией статистической Teoprai турбулентности, лагранжепым масштабом поля локальных скоростей.

Однако для перехода к полю локального тензора удобнее пользоваться безразмерным аналогом величины Z,,-. Поэтому введем в соотношение (2.24)

безразмерную пе])е.\1енную (3 = ш x/d. Тогда

\ W I tjl со

?-27(77)-2 J fl,(p)dp2i(i;.y2 Л,-(Р)ЙР. (2.25)

поскольку в выражении (2.13) фактически фигурируют макрокоордпнаты, т. е.

I W I i > d. Будем называть величину Ь,- = J Л/(р) df> безразмерным лагран-

жевым масштабом пористой среды. Легко видеть, что L,- = Li \ w \/d. Весьма существенно, что L; не зависит от времени, так как это позволяет сразу сказать, что hi не зависит уже и от средней скорости потока, а определяется лишь микроструктурой среды, т. е. L/ - осредненная характеристика поля локального тензора. Но поле локального тензора изотропно, а потому Ь,- = L - скаляр.

Заметим, что мы произвольно выбрали за масштаб отсчета d средний дпаметр зерна, можно было бы положить, например, d = Ук/т. Способ выбора масштаба отсчета d приведет к соответственному пзмененпю величины L, которая