Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 [ 42 ] 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108

Для исследования гармонических волн смещения твердой и

жидкой фаз можно представить в виде Z = (grad -- rot ф) e"";

= (grad фз + rot ta) e"", где ф, ti "~ функции только координат. Тогда система (16.1) -(16.2) сводится к следующим двум системам:

относительно объемных потенциалов ф, фз pi (1 - тпа) соф! -f ibw (ф1 - ф2) + + (1-то) (14- 22) Уфх + Q У\2 = 0. (16..3)

Рзтософа - ib(o (ф1 - фз) + <? VTi + Уфг = О и относительно векторных потенциалов г))],

Pi(l-mo)cu2ii + tftcu(ti-t2) = (l-mo)?.2 v4i-РгтоСОг - ffto) (ti - ta) = 0.

Уравнения (16.4) можно записать в следующем виде [106, 275]:

v42 + «/c$2 = 0, (16.5)

tl= - V\)2, (16.6)

\ г6 у (xmo(l -mo) pi(l-mo)

7,2 Pi (1 -mo) (02у + г&(0 (l-fv) (l-mo)pv

Система уравнений (16.3) преобразуется к уравнениям типа (16.5) несколько более сложным образом [275]. Введем функции и

Ч>1 = Ха+%Ь, 4>2 = Ma%a+Mi,Xb- (16.7)

Тогда уравнения (16.3) примут вид

(9+дм„)(ух.+ """7;1;-"°"..».)+

+ (9 + дм.) (+ ""•V+JX") -°-

Если теперь выбрать числа Mg, М/, так, что

Pi (1 -то)+ ;&(! -Ма)ш-1 ргтоМд-;& (1 - Mg) м-1 ,,3

Pl(l-то)4-г&(1 -Мг,)(0-1 Р2тоЛ/ь-г&(1-Мь)ш-1 ,3 М6 1П (1-то) В-1 + QMb Q + RMb ~ >

то система (16.8) -(16.9) имеет в силу линейной независимости уравнений (16.8) и (16.9) тривиальное решение

Vha + <oklXa = 0, (16.12)

yX, + (o4lXf, = 0, (16.13)

т. е. систе.ма (16.3) сведена к разделяющейся системе уравнений (16.12), (16.13).

Согласно уравнениям (16.10)-(16.11) коэффициенты ка, к;, являются корнями следующего биквадратного уравнения:

Ск-Ьк+аО, (16.14)

J f -(1-то)Д Q \

V \B(pi(l -то)+г6ш-1)г6ш-1 (pi(l -то)-Ьг6ш-1)г6ш-1)

В pi(l-то)-гг6ш"1 v \ гбсо"! pi (1 - то)-Ь гбш i у

, .2

а=1-

Константы М, Mf, связаны с корнями к, к,, следующим выражением:

М 1 - (1 - то) В-1 (р1 (1 - то) + i&M-i)-i к%, , Н6 15

Q{pi{i~in(,) + ibco-i)2kl, + ibo:,-i UO-iJ;

Прежде всего корни к, kf,, как можно показать, определяют соответственно рассмотренные выше волны I и II рода. Для изучения закономерностей отражения от границ раздела ограничимся плоскими, падающими по нормали к поверхности раздела волнами Х„ = ехр {±шкх), п = а, Ь.

Пусть плоскость а; = О разделяет две среды с различными свойствами. Будем обозначать характеристики волн в среде х <i О индексом « - », а характеристики в среде а; > О индексом « Ц- ». На границе а; = О должны выполняться следующие условия, связывающие характеристики волн уг У-

а) непрерывности смещений частиц скелета

-ixa+x-b) = ii%i + xt); (16.16)

б) сохранение массы жидких частиц

то (МаХ-а + Mltb) = mt {МаХй4-Mtxt), (16.17)

в) непрерывности давления в жидкости (здесь возмущения давления выражены через смещения)

((? + RMr {k-J Xn + (Q + ям,)- (к-ь) =

= ((? RMaY (kt) -f ((? 4- RM,y (kt) Xb\ (16.18)

г) непрерывность суммарных напряжений

(- + Q + iQ+R) {KY Га +

+ + Q + {Q+R)M,y {kif -Сь =

= -\-Q + {Q+R)May {ktf xi +

+ + Q-{Q + R) M,y(ktr it. (16.19)

Соотношения (16.16) -(16.19) позволяют исследовать самые общие случаи отражения плоских волн, падающих по нормали к поверхности раздела. Например, пусть из насыщенной пористой среды на границу раздела падает волна 1 рода е"*а. Это типичный случай при значительном удалении источника от поверхности раздела, поскольку волны П-рода затухают исключительно быстро (см. § 7, 14). При этом смещения представляются в виде

Xt = AUi\ (16.20)

Хб = Ле «• , xt=Ate ь ,

Напомним, что числа kg, kf, известны по свойствам среды и частоте тголебаний, их действительная часть равна скорости распространения волны, а мнимая - коэффициенту затухания. Задача при этом сводится к нахождению величин амплитуд Ай, А%, Al, At пз системы алгебраических уравнений (16.16)-(16.19).

Геертсма и Смит рассмотрели случай отражения волны от поверхности раздела между непроницаемой твердой породой и насыщенной жидкостью пористой средой [293]. Они вычислили коэффициент поглощения по энергии (отношение энергии прошедших волн в среду к полной падающей энергии, т. е. квадратов амплитуд смещений), причем при этом на поверхности раздела волна П-рода не возникает. Второй рассмотренный ими случай - падение волны из жидкости на пористую среду, насыщенную той же жидкостью, и в частности при абсолютно жестком скелете среды, когда по среде распространяется только волна давления (см. также § 15). В общем случае часть энергии падающей волны уходит на возбуждение у поверхности раздела быстрозатухающей волны 11 рода. Эти результаты согласуются с полученными выше выводами о зависимости типа возникающих волн от способа приложения нагрузки.

В. П. Степанов рассмотрел важный случай волн низких (сейсмических) частот: сот <С 1 (см. табл.7), проходящих через контакт двух жидкостей, находящихся в одной и той же пористой среде, а также случай двух пористых насыщенных сред, разделенных непроницаемой границей [204]. Им были получены следующие выра-