Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [ 15 ] 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108

Таким образом, подстановка параметра af в уравнение неразрывностп для твердой фазы приводит к соотношению (6.7) лпшь в частном случае - прп Pi=0. Только ошибочная замена определення скорости объемной деформации в формуле (6.10) иа следующее

может привести к совпадению соотношений (6.12) п (6.7) п при О дт l-m(l-btty) f де \ i~m(i-{-af] f де , др \

1г- i+f-VdfJn--гт К-дГ--дГ)- --

В рассматриваемой общей модели пористость меняется даже при изменениях одного давления в жидкости; это обусловлено неравной сжимаемостью материала фаз и не противоречит упрощенным представлениям механики грунтов, для которых в ряде случаев выполняется «принцип несжимаемости грунтовой массы» (условие Pl = Рг " 0).

Л. Я. Косачевский [106] доопределил значение параметра af пз условия существования упругого потенциала по Био [257], причем оказалось, что это условие совпадает с приведенным здесь условием (6.9) тождественности соотношений (6.7), (6.8).

Цянь Сюэ-сень [224] заш1сал уравненпя движения так же, как и Я. И. Френкель, но деформации ец им связывались не с фиктивным напряжением а, а с суммарным Г; в то же время Цянь Сюэ-сень в согласии с принципом несжимаемости грунтовой массы Н. М. Герсеванова считал, что Pi = const, рг = = const (Pl = Рг = 0), т. е. рассматривал случай мягких пород. Однако соотношение (5.V) сводится к связям

Гу = (1-то) {Kiebif-~2%2eij), (6.15)

использованным Цянь Сюэ-сеном, только в противоположном случае «идеально сцементированных» пористых сред, характеризуемых условием (1 - т) pjA = = 1. Что касается сред, для которых справедливо условие Pi = О, то еще в работах Терцаги [206] было показано на основе опытных данных, что их деформации ец вызываются фиктивным напряжением а.

В работах Гассманна [288, 289], см. также [99], предлагалось прп рассмотрении деформаций насыщенных пористых сред вводить два предельных состояния среды. В первом из них пористая среда является «открытой системой», гидростатическое давление в порах всегда неизменно. Во втором состоянии среда ведет себя как «закрытая» система, относительное движение жидкостп исключается. Гассманн вычисляет эффективную сжимаемость «закрытой» системы через обычную сжимаемость материала твердой фазы, модуль сжимаемости жидкости и коэффициент Ламэ «открытой» системы.

Таким образом, фактически Гассманн вводит четыре независимых упругих коэффициента. С другой стороны, автор пользуется представлениями мёханпкп зернистой среды [59] и оценивает упругие константы твердой фазы по теории Гертца упругого взаимодействия двух контактирующих шаров. При этом интенсивность сдавливания определяется собственным весом массы уложенных друг на друга шаров. Такая схематизация позволила вычислить изменения скорости распространения продольных волн по вертикали и по горизонтали (среда анизотропна из-за вертикального сдавливания) как для сухой среды, так и для влажной (в последнем случае жидкость двигалась вместе с твердой фазой - «закрытая» система).

Следовательно, по теории Гассманна пористая среда движется как однофазная, ее реальная гетерогенность сказывается лишь на величинах упругих коэффициентов. Подобный подход был предложен также Г. М. Ляховым [133-135] (см. также § 8), однако если у Гассманна учитывался эффект жесткости самого скелета среды (конгломерата шаров), то у Г. М. Ляхова твердые частицы сжимаются так же, как и жидкие - по законам гидростатического сжатия.

Перейдем теперь к рассмотрению предложенной в 1956 г. системы акустических уравненпй Био [257].

По Бпо уравнения движения твердой п жидкой фаз имеют соответственно

РП + Р12 - - 6 -- Щ) = о, (6.16)

dUi , dwi , дтр , > „ , j-ч

Р12 + Р22 -+-+6К-",-)=0, (6.10

где Pki - некоторые коэффициенты, имеющие размерность плотности; Ъ - коэффициент пропорциональности. Напряжение a*j связано с суммарной нагрузкой следующим соотношением:

if=<t,- "Pi/. (6.18)

Пользуясь условием линейности связей п существования упругого потенциала, Био получает, что между деформациями и напряжениями существуют следующие соотношения:

ofj = Aedii+2Xeiji-Qe6i,; -mp=.Qe + R£, (6.19)

где d/dt = dwijdxi.

Первое из соотношений (6.19) можно представить также в виде

а= А - еб/+2Л>,-у- -- трб,-/, (6.20)

здесь А, N, Q, R - константы упругих связей среды.

Сопоставим связи (6.19) с соотношением (5.V11) и с соотношением непрерывности

pP=-(l-piA)(l-mo)e-bmo6, Р==(1-"го) -"орг, (6.21)

следующим из (5.111)-(5.IV). Если положить напряжения а*( в формуле (6.18) равными величинами а,у (1 - т) = a{j - (1 - т) рц в принятых здесь обозначениях, то соотношения (6.20) можно записать также

а{/= А-ЯР1 еЬц + 2Кец- {2 - (1-т)) рЬц.

Отсюда для совпадения уравнений (5.V) и (6.20) должны выполняться следующие равенства:

А--=Xi(l-mo), Ж = Я2(1-то),

(6.22)

-2 = (l mo)(l-piA),

а для совпадения (6.21) п второго из равенств (3.4)

Q (l-piA)(l-mo) Я mo ,„„„ч

еслп предположить, что у Био всюду то = т. Легко видеть, что последнее из равенств (6.22) является следствием соотношений (6.23). Таким образом, четыре параметра модели Био , N, Q, R связаны с четырьмя параметрами Я,,, К, pj, Рз четырьмя уравнениями, что позволяет выразить их друг через друга. В уравнениях движения (6.16)-(6.17) у Био фигурирует градиент не самого давления р, а величина тр. В последующих своих работах [260, 261] Био пишет, что предложенная пм в работе [257] (п анализируемая здесь) система уравнений справед-

лива для постоянной, однородной порпстостп. Действительно, только в этом случае следующее из предложенной пм системы уравнение S7mp = О устано-вивщегося фильтрационного теченпя сводится к хорошо известному уравнению V"P = 0. Но упругие пористые среды, однородные по пористости в начальном недеформированном состоянии, становятся неоднородными при неоднородном напряженном состоянип. Поэтому нужно считать, что в уравнениях (6.16)- (6.17) фигурирует не полное значение пористости, а ее стационарное значение то. Различие учета поверхностных спл в уравнениях Био п в принимаемой здесь системе особенно наглядно прп соспоставлении уравнений (6.16)-(0.17) п (3.23), (3.25).

В соотношении (6.18) нельзя понимать (см. [10]) величину ау как истинное напряжение в твердой фазе - это неверно п приводит к ошибке, так как важно, от какого напряжения зависит плотность твердой фазы. Можно показать, что если в линейных упругих связях Био а*/ = aj, то пх нельзя свести к соотнощениям (6.21) п (5.VII). Недопустимость пспользованпя связп (6.18) при интерпретации а*! как а/,- для сред, где можно пренебречь пз.менениями плотности Pi, подчеркивалась также Брутсаерто.м [265].

Если учитывать в уравнениях Био инерционные члены, то прежде всего уравнение импульса (3.22) для всей среды в целом удовлетворится только тогда, когда

Рн = (1 -т) Pi -pi2, P22 = mp2-Pi2. (6.24)

Движение жидкости п]>п неподвижном скелете среды будет описываться уравнением

fp, Jil) + +A,, = 0, (6.25)

mg J dt dxi I mo

которое, как легко видеть, прп рф О отличается от уравненпя Н. Е. Жуковского (3.23) уменьшением эффективной массы жидкости. Поэтому величина Pi2 = -Ра называется по Био дополнительной, присоединенной массой (ра > 0).

Таким образом, если интерпретировать о*,- в уравнении (6.16) как а. - - (1 - mj) pOif, а величину пористости в уравнениях (6.16) п (6.17) приравнивать ее стационарному значению, то уравненпя Бпо (6.16) п (6.17) будут совпадать с соответствующими уравнениями Я. И. Френкеля прп = О, что отмечено также Л. Я. Косачевским [106].

Заметим, что при использовании теории Био для решения конкретных задач Джонс [301, 302j, а в ряде случаев Геертс.ча [293] пренебрегали «присоединенной» массой Pj2. Био [257, 258], рассчитывая скорости распространения звуковых волн, сопоставлял случаи равных и неравных нулю присоединенных масс.

Можно показать, что именно уравнения движения Я. И. Френкеля справедливы с точностью до переноса пмпульса, вызванного отклонениями пстинных скоростей частиц фаз от пх средних значений. Для этого нужно воспользоваться способом, предложенным Био [260, 261], а именно, получить линеаризованные уравнения импульса как уравнения Лагранжа

где - кинетическая энергия среды; D - диссипатпвная функция; а*, - фазовые напряжения и скорости.

Как известно, такой способ получения уравненпй движения не является более общим, нежели прямое составление уравнений баланса пмпульса, поскольку теперь частные предположения о математической модели двухфазной среды используются при формулировке выражении £*, D.

В качестве расчетных скоростей i- {к = 1.2) надо взять либо одну пз фазовых, например f = ui, н относительную vi = mj (ш,- - и), как это делает Био [260, 261], лпбо обе фазовые скорости w,-, и,-. Будем пользоваться вторым приемом.