Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [ 13 ] 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108

Нетрудно показать, что система уравнений (5.23) сводится к следующему релаксационному волновому уравнению относительно давления:

(-*Vp)+(f-.vV)=0, ,5.29)

Vco - ~-п . Vn - п I ~------\- 1 т -

РоэР РоР Роо Pl Р2 flOPO

здесь т - характерное время релаксации; ро = (1 - т) pj -f- торг-Условие Fy - еРд, определяющее область возможного применения уравнения (5.29), показывает, что фазовые давления с точностью до величины порядка е равны между собой.

Выше были упомянуты уравнения X. А. Рахматулина (3.26), в которых предлагалось считать фазовые давления тождественно равными друг другу. Уравнения (3.26) после линеаризации в отсутствие сил тяжести эквивалентны, как нетрудно показать, системе (5.23) или релаксационному уравнению (5.29). Таким образом, система уравнений X. А. Рахматулина применима для расчетов динамики водонасыщенного мягкого грунта по крайней мере в акустическом приближении, причем в этом случае она дает результаты, отличающиеся от результатов модели (5.1)-(5.VII) на величины 8-малого порядка.

Теперь покажем, что иногда во всем грунте реализуется такое движение, при котором справедлива оценка e.PIFij -- 1-

В самом деле, рассмотрим, например, замкнутую область грунта, на всей границе которой задается равенство скоростей смещения фаз. Тогда из уравнения (5. III)- (5. IV) имеем

J ЩЩdS+ щщ dS~P, (5.30)

AS AS

где п - компонента единичной нормали к элементу граничной поверхности S области объема V грунта.

Если на всей границе и, = W( (сжатие всюду осуществляется жестким непроницаемым поршнем), то уравнение (5.30) записывается в виде

-Uin,dS = -±-UinidSf,P, (5.31)

что и дает оценку (UTIL) ~ рР. Отсюда при отсутствии оттока жидкости в силу условия o\j - 1 всюду в системе справедлива оценка

Этот результат подтверждается ниже примером задачи о приложении нагрузки (при одномерном движении) со стороны непроницаемого и жидкого поршня (см. § 13).

б. Рассмотрим теперь области движения, где ePj -С F\j при i = = /, т. е. где сопоставимы изменения нормальных эффективных напряжений (г = /) ~ Р и давления Р. Здесь уравнение (5.20) и уравнение сплошности (5.18) можно записать в виде

а/у = (1-то)(4;б,у + 2ё,Л+о(б). = 7 (5.33)

Поско.чьку левая часть уравнения (5.33) имеет порядок единицы, то и одно из слагаемых в правой части также должно иметь порядок единицы. Поэтому в рассматриваемой области движения справедлива следующая оценка:

Отсюда в соотношениях (5.1)-(5.2) можно пренебречь выделенными малыми членами, и движение в области {ъРЕ!) < 1 описывается системой уравнений, получающейся из (5.1)-(5.1V), (5.V11) в пренебрежении сжимаемостью фаз

(1-"го) (рх--р2-)---то(1-»го)(гг-",-) = 0,

P + + -"o(i-m,)(wi-Ui)0, (5.36)

af;=(l-mo) (V6f/ + 22ev).

Определим теперь скорости распространения объемных деформаций поперечного сдвига. Система уравнений (5.36) приводит к следующему уравнению для объемной деформации:

-г -"5-+---«-=0. P = Pii--P2f (5.37)

(9/2 Bp атоО dt mo

согласно которому скорость распространения возмущений объемных деформаций равна с = 1 Вр.

Применение операции rot к уравнениям движения твердой и жидкой фаз приводит к уравнению

где 2% = {{dlildXj) - {dlj/dX()} - компонента вихря вращения; ij, - аксиальный тензор Лени - Чивита [196].

Согласно уравнению (5.29) фронт области ffj - eP распространяется со скоростью Vco 1 а так как в силу условия е 1 имеем > с и гсо > sco =ТЯ,2/р1, то этот фронт распространяется по невозмущенному материалу.

Так как в начальный момент времени фронт обеих волн совпадал с участком границы среды, на которой была приложена, по предположению, остающаяся при i 0 неизменной нагрузка, то характерные изменения на первой волне таковы:

РаИ ~ ( - 1) + рл,- + О [8 (f*j - Р,б,,)],

(5,39)

if;~o(8F*-8P,6,y),

где звездочкой обозначены задаваемые возмущения на границе.

Плотность твердой фазы р имеет один порядок с величиной р, а поэтому соотношение между скоростями продольной волны с и волны чистого сдвига voo такое же, как и в обычной упругой среде (выше уже использовалось предположение, что с- vm, которое фактически и обозначает, что Яг ~ в~). За фронтом эквиволюми-нальной волны искажения, распространяющиеся со скоростью г;, будут происходить деформации чистого сдвига, а за фронтом второй продольной волны, скорость которого Vj,, происходят и объемные и сдвиговые деформации. Для всех этих деформаций характерно условие bPj, < fcj, а поэтому им соответствуют следующие характерные изменения напряженного состояния:

pbi ~ ftj - О [е (ftj- pbij)], ffj ~ffj- О [в {ftf - Р,б,,.)]. (5.40)

Здесь учитывается тот факт, что возмущения Р, fj, вносимые второй продольной волной и эквиволюмиальной волной сдвига, отечитываются уже не от состояния иокоя, а от возмущений первой волны, т. е. за второй волной установятся следующие характерные давления и напряжения рл- рь pt: + ftjfij согласующиеся с граничными условиями. Из соотношения (5.40), в частности, следует, что при приложении к насыщенному мягкому грунту нагрузки со стороны жидкости (fff = 0) изменения напряженного состояния на второй волне имеют порядок е-малых величин. Поэтому они не могут быть найдены путем решения системы уравнений (5.36), в которой пренебрегается е-малыми величинами, и чтобы их определить, необходимо решать полную систему уравнении (5.1)-(5.IV), (5.Vn). В то же время на первой волне изменения давления будуг конечными и для их подсчета, как и при деформации грунта без оттока, можно пользоваться уравнением (5.29). В этих двух случаях характер изменений давления и фиктивных напряжений весьма близок.

Рассмотрим теперь характерные величины смещений твердых частиц if и if в фиксированной точке грунта после прохождения соответственно первой и второй волн. Прежде всего заметим, чтз