Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 [ 8 ] 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108

Н. А. Слезкин [199] выписал уравнение энергии для всей смеси в целом. В. И. Марон и В. А. Медведев [139] в отличие от X. А. Рахматулина [186] исследовали динамику смесп газов, т. е. вводили различные парциальные давления (как п по схеме II, см. § 3), определяемые парциальными плотностями и температурами. Работа сил межкомпонентного взаимодействия определялась как сумма F[""wi" по всем компонентам смеси {к = I, . . ., N, п = I, . . ., N, к Ф п), где 11"* - скорость п-ош компоненты, "* - сила межкомпонентного взаимодействия. Сила fl*", равно как и работа сил взаимодействия, осталась неопределенной. Для многокомпонентной смеси идеальных газов соответствующие формулы можно получить прн использовании методов статистической механики, как это делается в теории плазмы - смеси заряженного (электронного) и электрически нейтрального (ионного) газов [35].

В статье Ван Деемтера и Ван дер Лаана [323] выписывались уравнения кинетической энергии фаз, но работа сил вязкостной диссипации внутри каждой из фаз и работа сил на поверхностях раздела оставались неопределенными. Хинце [298] рассматривал осредненные уравнения движения фаз (см. также § 3), однако при формулировке уравнений энергии он ограничился уравнением кинетической энергии для всей среды в целом (а не для каждой из фаз в отдельности). Уравнение Хинце включает в себя, в частности, сток энергип с интенсивностью Л,- (lOj - Ul).

Уравнения (4.10), (4.15) являются дифференциальной формулировкой первого закона термодинамики. Второй закон термодинамики записывается для первой и второй фаз соответственно в виде

рА-т)Т,==, (4.16)

pmT+Riiwi-Ui), (4.17)

где Sj, T/i - фазовые энтропия и температура.

Уравнение (4.17) означает, что внутри твердой фазы не происходит диссипации механической энергии; вязкостная диссипация происходит только в жидкости - см. уравнение (4.16).

Уравнения (4.16) и (4.17) можно представить в виде

(i-ni)p,s,= ~[{i-m)p,s,ui + )- (jr)+q/T„

(4.18)

P.s.= (p,s,«., + )-(yp4)-g/r.. (4.19) Здесь использовано соотношение

Суммируя уравнения (4.18) и (4.19), получим уравнение для энтроппп единицы объема пористой среды

PoS = (l -m)piSi + mp2S2; (4.21)

= - (р, (1 -,.) s,ui + + -4) -

l jny2li. Ljiyl]jL + R. +а(Л L.\ (4 92)

с другой стороны, уравнение для энтропии s должно записываться следующим образом:

где Jf - поток энтропии; 2 ~ скорость локального возникновения энтропии в единице объема среды.

Сравнивая уравнения (4.22) и (4.23), получим для 2 следующее выражение:

2 - - >> grad Г.- 7» grad 7-. +й %f + , - -Х) .

(4.24)

Согласно основному уравнению термодинамики необратимых процессов

->-

где F, F, Fg, /"4 -соответствующие потокам У, R, д -термодинамические силы. В нашем случае

Для нахождения связей между потоками и термодинамическими силами при малых отклонениях от состояния равновесия воспользуемся известными двумя принципами термодинамики необратимых процесов [55]. Согласно первому из них - принципу Онзагера - потоки прямо пропорциональны вызывающим их термодинамическим силам, причем матрица коэффициентов пропорциональности обладает свойством симметрии Zvu = ь- При этом подразумевается, что коэффициенты L могут быть функциями параметров состояния среды (см. также § 19). Согласно второму принципу - принципу Кюри - сила не может вызвать потока, имеющего другую тензорную размерность. Соответственно формально можно записать

J""iv,R== L,;Fi + L,h + V„qLF,. (4.25)

Так как, по предположению, тепловое взаимодействие между фазами учитывается потоком q, то нужно положить Ь = Li = L = = 13 = 0.

Поэтому

/i)==-jgradr„ ,/(= gradr2-23%. (4.26)

==-4grad7, + Z33%f. ? = T(2-ri).

Если скелет абсолютно жесткий {щ = 0), то выражения для

->->->

R совпадают с выражениями, полученными в работе П. П. Золотарева [75].

Входящие в выражения для У, R члены с коэффициентом L для пористой среды, насыщенной однофазной жидкостью, как отмечено в работе [75], должны быть малы по сравнению с членами 7.22» Ьз- Это связано с тем, что вероятными физическими явлениями, которые учитываются указанными членами, являются термодиффузия и эффект теплового скольжения (для газонасыщенных сред). В обычных условиях этими эффектами можно пренебречь.

Были выполнены [75] следующие оценки. Прн тепловом скольжении 3

Lg/Tl = dH/{M v), где (/ - средняя длина свободного пробега; - скорость

молекулярного движения; R - газовая постоянная; М - молекулярный вес.

Для воздуха при 60° С и атмосферном давлении ~ - 5 10" * см/сек град. При более высоких давлениях {L.JTl) еще меньше, так как i/p. Следовательно, при фильтрации газа соответствующий член обычно мал по сравнению с членом вязкостного сопротпвленпя [75].

Учитывая, что наше рассмотрение применимо при (Ti-Тг)/» С 1» где Г, - некоторая средняя температура среды, и полагая

(к - проницаемость среды), получим для 7, 7?р q выражения У1= -mDigradTi, J = -(i - m) DigtadTi,

Ri = r{wi-Ui), q = K{T2~T,). (4.27)

Из уравнений (4.18) и (4.19) с учетом (4.27) при w,. = Wf = О следуют уравнения передачи тепла в насыщенных пористых средах, рассмотренных в работах [74, 193].

Таким образом, в частном случае малой разности скоростей движения фаз термодинамика необратимых процессов приводит к фундаментальному закону теории фильтрации - закону Дарси. Иногда обобщение закона Дарси для подвижной твердой фазы (w; =7 0) называют законом Дарси - Герсеванова [46, 214].

В работе, посвященной гидротермодинамике жидкого гелия, И. Пригожий и П. Мазур [313], взяв в основу принцип Онзагера, нашли возможным определить силу межфазового взаимодействия

согласно формуле = (w,-- «/)/(! w - 1). Если воспользоваться этим приемом в нашем случае, как легко видеть, получится соотношение

7?, = г (w, - а,) + b (wi - а,) 1 -щ\, (4.28)

которое можно интерпретировать как двучленный закон фильтрации. Переход от закона Дарси к двучленному закону фильтрации, как известно, связан с ростом относительного числа Рейнольдса;

Re = (р2/р.)У/с/[х I и; - w ([х - вязкость жидкости). На рис. 2, 3

представлены графики функции / (Re), где г = р, ---f{Rc),:iH

наиболее характерных пористых сред.