Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 [ 4 ] 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108

представляет собой отношенпе «длины перемешивания» среды L ] ш к диаметру зерна d (или к параметру Ук/т).

Связь между дисперсией {vf) компонент локальных скоростей и осреднен-ными величинами компонент тензора а выражается следующим образом:

(v*)2 = (vi-wi)2 = {aiaj-aaj Ш;Шу= (ay-mw) (2-26)

В силу изотропии пористой среды и равноправия индексов i, j все осреднен-

ные произведения aiaf, которые являются одноточечными моментами изотро ного случайного поля а,/, должны быть инвариантны относительно выоо

роп-

aif, должны быть инвариантны относительно выбора системы координат, и поэтому имеют следующий вид:

"«/"а/ = lalxj + гбадб,/, (2.27)

где Al, Л2 - скаляры.

Отсюда все осредненные произведения аа/Яа/, у которых i Ф j, должны быть равны нулю. Благодаря этому выражение (2.26) упростится: множитель в скобках будет дисперсией D (ai) компоненты a„j:

(««/«осг -«.j6oc/) wtWi=D (fl.,) . (2.28)

В связи с этим выражение (2.23) принимает вид

4=2D(a)w.-L. (2.29)

и согласно определению коэффициента диффузии (2.15) между параметрами рассеивания и дисперсией поля локального тензора реализуется связь

Xi = D (ail) Li, X2 = D (ai2) Ld,

Проведенный здесь анализ предполагает наличие молекулярной диффузии - как и в случае турбулентной диффузии окончательное растворение происходит на молекулярном уровне.

§ 3. УРАВНЕНИЯ НЕРАЗРЫВНОСТИ МАССЫ И ИМПУЛЬСА

Начнем анализ с вывода осредненного уравнения движения жидкости в сплошной двухфазной среде. В каждой микроточке заполненного жидкостью порового пространства справедливы исходные уравнения гидродинамики обычной вязкой жидкости

/ dvi д , , /п 1\

Р--РЧ = Р1 (3.1)

#+1:р5. = 0, (3.2)

где gl - компонента ускорения силы тяжести, штрихами обозначены локальные значения плотности жидкости и компонент тензора напряжений рц.

Осредним уравнения (3.1) и (3.2) по объему той части AV{t), которая занята жидкой фазой.

При последующих преобразованиях будет использована известная теорема Остроградского-Гаусса.

J divvdV = ViTiidS, (3.3)

где S - поверхность, содержащая в себе произвольный объем V; - компоненты нормали к поверхности S.

Кроме того, заметим, что для произвольной величины /, связанной с частицей жидкости, оказывается справедливым следующее соотношение:

I Р«1 = 1 J Р«/+ I 9.fVin,dS, (3.4)

где AiSj - неподвижная часть площади поверхности 5, включающей в себя поровой объем 1.У{1) в фиксированный момент (ее мгновенное состояние см. [143]), за вычетом S. Часть всей поверхности перемещается со скоростью самих частиц (т. е. переносится вместе с потоком). В нашем случае AS - занятая жидкими частицами часть поверхности граней злементарного макрообъема V, связанного с лабораторной системой координат, через стенки которого перемещаются твердые и жидкие частицы.

В самом деле, подьштегральное выражение левой части соотношения (3.4) можно преобразовать следующим образом:

-/(Р)= + Р> (3.5)

причем при последнем переходе было использовано справедливое для микропотока жидкости уравнение неразрывности (3.2). Далее имеем

ДГПО ДГ,(« AS, (О

где ulUi - нормальная компонента скорости перемещения граничной поверхности 2 (t), т. е. подынтегральное выражение во втором слагаемом обращается в нуль на неподвижных частях граничной поверхности (отделяющих рассматриваемый объем ДУ), а сам интеграл сводится к интегралу по внутренним поверхностям 5 объема - граничным с другой (твердой) фазой. Существенно, что граничная поверхность 5# перемещается со скоростью, равной скорости смещения контактирующих с ней жидких частиц. Поэтому предыдущее соотношение принимает следующий вид:

J dF = j plfdV-plfvnidS. (3.6)

ДГг (i) AV, (0 AS*

Из теоремы Остроградского - Гаусса (3.3) следует

\ (РаМ)йЮ= J PaK-«/rf5+ JpaK-irfS- (3.7)

AV2(i) ASj AS,

Суммирование выраженпй (3.6) и (3.7) приводит к равенству (3.4).

Проведем теперь осреднение уравнения неразрывности для жидкости (3.2). В силу равенств (3.6) и (3.7) при / = 1 получаем

I + = I PdF+ jp>,n,d5. (3.8)

Введем теперь величину средней плотности

дг» (О m ДГ,(<)

С другой стороны, можно определить среднюю скорость Wi движения жидкости через одну из граней SI макрообъема AF, т. е. среднюю по плоскому сечению среды (2.9)

УсР-Щ Jp/d5 = ;J55 JP.- (3.10)

Ago ASSS

И снова воспользоваться теоремой (3.3), представляя интеграл по внешним поверхностям объема AF как дивергенцию от осредненного массового потока (3.10). Подставляя выражения (3.9) и (З.Ю) в уравнение (3.8), окончательно получим искомое уравнение неразрывности, справедливое уже для макропотока жидкости

Заметим, что в формуле (3.10) использовано принятое выше предположение: п = т.

Осредним теперь уравнения движения жидкости (3.1)

J р- I {-щРи)У-ё J РУ=о- (3.12)

Из соотношения (3.4) при / = f,. имеем

J . р dF = J p2Vi dV+ PViVjUj dS.

AV, (i) AV, (i) AS,

(3.13)

Выражение (3.13) можно записать далее, используя осредненные значения плотности и скорости,

J p2dV = {mp,Wi) + (mp,WiWj). (3.14)

AV,(t)