Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 [ 29 ] 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108

При малых частотах («i < 1, «3 1)

Fi(ni)F2 {112)1, х, = к, = , Х2 = -А.,=--. (11.9)

В работе Био [258] выписывались периодические решения уравнения движения вязкой жидкости

дш др , dw /1,1п\

в щели со стенками, параллельными оси х и отстоящтш от нее на расстоянии у = ±1 (на стенках задавались условия прилипания жидкости), и в цилиндрической трубке постоянного радиуса. Им было найдено, что для больших частот R[ = bwi, причем для пор в виде щелей и пор в виде трубки кругового радиуса было получено соответственно

b = \-=F,{z,), l=\-F2{z,),

(И 1П

где V - кинематическая вязкость /кидкости (газа).

Из сопоставления выражений (11.7), (11.8) и (11.11) следует их полная аналогия, причем роль коэффициентов теплопроводности и температуропроводности aj газа в формулах (11.11) выполняют соответственно параметры [х и v.

Поскольку форма поперечного сечения пор сказывается лишь на небольшом изменении масштаба длины, для представления зависимости к от частоты для системы параллельно расположенных одинаковых пор-каналов можно ввести [258] универсальную комплексную функцию F (п), определяемую выражением (11.8), где п = = / ]/(й/а. Параметр размерности длины / является характеристикой размера пор и формы их поперечного сечения. Для пор кругового сечения / равен радиусу поры, для пор щелевидной формы ширины 2/1 имеем / = Vsi-

Из формул (11.9) соответственные выражения для т, = тс/х имеют вид

тг = 4--, т = - - (11.12)

Для системы параллельных пор выражение для b таково [258]:

b = F[8,,{h,y/], (11.13)

где 6 - так называемый структурный множитель, причем (le/S) б. (8)/ч

Согласно расчетам [82] для к в этом случае имеем

y. = F{6,Vh;). (11.14)

Упомянем в связи с приведенными здесь результатами работу Морзе [310], в которой рассматривалось затухание звука в насыщенной газом пористой несжимаемой среде. В отличие от Цвиккера и Костена там принималась произвольная ориентация поровых каналов, причем при больших радиусах каналов учитывалась зависимость проницаемости от частоты. Такое уточнение можно провести и для системы (5.1) - (5.VI1), если подставить выражения для коэффициента проницаемости (11.11) в уравнения движения и полностью рассчитать характеристики распространения монохроматического звука. Воспользовавшись подобным соображением, Био [258] получает для насыщения среды капельной жидкостью те же результаты, что и раньше для волн ма.тых частот (F (z) 1 при z -> 0), и, кроме того, изучает большие частоты. Он получил асимптотическое выражение для скорости

(1 -т)Х2

L рп (1 -рЬ/риРгг) и коэффициента затухания поперечных волн

i = (OTi->oo (11.15)

P12 -Р22

YV-?i = COTi-voo. (11.16)

/ r P11P22-Р2

4 \ PIj j r P11P22-Р2

Здесь Ti = (рот) (1 - ШоУр- т.

Эти формулы при р12 = о переходят в следующие выражения:

v,,,-y , 6з- -[/ (1 )2 р1 • (11-17)

Другими стопами, микронестационарность - нарушение закона Дарси (пуазейлевского движения в порах) - не ведет к изменению асимптотического значения скорости voo, справедливой в рамках механики сплошной среды. Этот вывод для поперечных волн был получен (при = 0) также Брутсаертом [265]. В то же время существенно изменяется при со оо асимптотическое поведение коэффициента затухания: выполнение закона Дарси для всех частот приводит к постоянному асимптотическому значению (7.23), тогда как учет нарушения пуазейлевского течения при больших частотах приводит к возрастанию коэффициента затухания пропорционально уа. Для продольных волн Био выписывает в общем виде дисперсионное уравнение п на основе численного расчета отмечает, что в области больших частот скорости распространения волн будут такие же, как при насыщении среды невязкой жидкостью; в явном виде соответствующие выран{ения он не приводит. Био выписывает асимптотические выражения (со ос) для коэффициентов затухания волн первого и второго рода, оба они оказываются пропорциональными l/co. Кро.ме того, Био выписывает выражения и приводит графики для величин коэффициентов затухания за цикл колебания, а затем для групповой скорости распространения волн.

Брутсаерт [265] провел аналогичные вычисления для трехфазной среды, причем оценил пригодность указанных асимптотических формул для скорости и затухания поперечных волн (11.15) -(11,16) следующим критерием:

(uTi> 10- 100, (й>(10-100)тI,•(10ч-100)т-l. (11.18)

Для рассматриваемого здесь примера водонасыщенного кварцевого песка пмеем

(о >(10 -т-100) (10* 4-10) се«-1 (10* -4- 10) сек\

Брутсаерт получает три типа продольных волн (из-за различного давления в газе и жидкости), выписывает выражение для равновесной скорости (ири малых частотах) волны первого рода и отмечает, что для больших частот -- оценка (11.18) - скорости волн совпадают со скоростями волн в отсутствие спл объемного вязкостного взаимодействия.

Био оценивает область применимости закона Дарсп в первой части своей работы условием (нарушения пуазейлевского течения в порах):

"-Sr-". (11-19)

где d - эффективный диаметр поры.

Био получает, что для водонасыщенных пористых сред условию d = 10" см соответствует = 600се«-; d = iO~ см со = 6000се«-, но при d = 0,1 см (х) = 60се«-1. Если же здесь брать в качестве дпаметра поры (как и обычно при оценке чисел Рейнольдса) величину Yk/m = l/ao/(l ~ "о) то эта оценка принимает вид

со, = 4 -оИ-Щ) = ~ 5тГ (И.20)

п дает для = 10"*-Ю сек значения = 5 (10*-10°) сек~ -

в 2 раза меньше, чем критерии (11.18) применимости асимптотических формул, отмеченных Брутсаертом. Таким образом, Бпо оценивает границы применимости закона объемного трения Дарси отклонениялш от линейной формулы.

Однако при рассмотрении звуковых колебаний важно влияние .)тпх отклонений на эффективные значения коэффициента затухания п сковости. Из анализа Био и Брутсаерта следует, что асимптотические значения поперечных скоростей не изменяются, но вопрос об отклонениях коэффициента затухания II промежуточных скоростей остается открытым.

Рассмотрим теперь исследование влияния микронестацпонарности нарушений закона q = у, (Т - Tj) на эффективные параметры звуковых волн [82]. Для этого найдем кривые затухания п дисперсии для распространения звука в канале щелевидной формы, рассмотренном ранее, и сравним эти кривые с аналогичными кривыми, полученными для этого случая в предположении, что q = х {То - Tj). Последние кривые определяются, очевидно, выражениями (10.20), если в них под подразумевать величину lySa.