Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 [ 20 ] 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108

Pi(l-mo) т. е. для упрощения выражений

Воспользовавшись разложениями в ряд по малому параметру г л пренебрегая величинами порядка е, получим

где индексу а соответствует верхний, а индексу b - нижний знак в выражении для корней (8.3). Всего корней дисперсионного уравнения четыре, что соответствует продольным волнам двух типов - волн первого и второго рода согласно терминологии Френкеля - Био 1215, 257].

Рассмотрим сначала волны первого рода, которым соответствует верхний знак в уравнении (8.3),

l5 = . + ie£. (8.5)

Тогда для волны, бегущей в положительном направлении по оси х, получим

. Гг 1

2 /1 + 2

V Vlm -Ь7?) (С + 1) + в,С -Вг-

-i VVimi ii+1)-B,v-R2, (8.6)

где использованы также неравенство 7?2 > 7?i (pi > Рг) и взяты арифметические значения радикалов. В частном случае, когда р = = Рз, имеем 7?2 = 7?i, и волны первого рода оказываются незатухающими.

Теперь можно определить скорость распространения и коэффициент затухания волны первого рода. Так, для скорости

получаем

1 VWoy/ (1-ПКЧЩу/ I 1-ЬД1£/Д2 ,07ч

V2 У \ 1 + 5 / 1 + ?

Р = (1-mo)Pi-bmoP2, Ро = (1-mo)pi-bmoP2 (см. рпс. 6).

При очень низких частотах колебаний или же при очень высоком фильтрационном сопротивлении пористой среды (этому случаю соответствуют волны обычных сейсмических частот в водонасыщенных грунтах) = (DpaJ\i, О, и мы имеем

-=7г7[ЗЧ*+)(-0]

и в пределе = HVWo при С 0.

(8.8)

-5 -J -2 -/ О 1 2 3

6 7

Рис. 6. Зависимость скорости продольной монохроматической волны первого рода Va в мягкой насыщенной среде от частоты колебаний и параметров среды.

При очень больших частотах колебаний в волне или же при очень малом фильтрационном сопротивлении среды оо, и мы получаем следующее предельное значение скорости волны:

1 -mo

/РРс

(8.9)

Для коэффициента затухания 6 волны первого тина имеем следующее выражение:

(8.10)

При фиксированной частоте со и очень малых ( оо) или при очень больших ( -> 0) фильтрационных сопротивлениях О,

а при некотором промежуточном значении коэффициент затухания претерпевает максимум.

Получающуюся форму кривой для коэффициента затухания, происходящего на расстоянии, равном длине волны, можно объяснить следующим образом. При очень малом фильтрационном сонротивлении среды, хотя жидкость и смещается относительно скелета, диссипация энергии волн также мала. Если фильтрационное сонротивление становится больше, то растут и потери энергип, но этот рост не монотонен - начиная с некоторого значения, дальнейшее увелпченпе фильтрационного сонротивления приводит к уменьшению интенсивностп смещений жидкости относительно твердого скелета, т. е. к уменьшению потерь энергии волн [167].

Для изучения зависимости коэффициента затухания от частоты колебания при фиксированных параметрах среды удобно переписать выражение (8.10) в следующем виде:

(i/i + RKm 1 + Д1?УД2] 1С,, л.

Тогда зависимость выписанной слева величины от (см. рис. 7) фактически является безразмерным представлением зависимости бд = = / (со). Можно показать, чтю при -V оо (т. е. со ->-

оо, а параметры среды фиксированы) справедлива следующая асимптотическая формула:

(8.12)

Ч о f ? 3 5 Inz

Рис. 7. Зависимость коэффициента затухания продольной монохроматической волны первого рода в мягкой насыщенной среде от частоты колебаний (прп фиксированных параметрах среды).

Для волн, характеризуемых весьма малым значением параметра = PqCOt/Pooi справедливо асимптотическое выражение

pi /

ОО (8.13)

Ро /

- ш f

moPoot

(8.14)