Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 [ 2 ] 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108

символом Q обозначена величина дополнительного (пульсацион-ного) потока меченых частиц

Q=v*Cds, (2.7)

л использовано условие равенства среднего молекулярного переноса (градиента от концентрации С) молекулярному переносу

средней концентрации (градиенту средней концентрации С). Видно,

->

что дополнительный поток меченых частиц Q обусловлен наличием пульсаций V* скорости жидких частиц, т. е. отклонениями локальной скорости Vi от ее среднего значения

vf = Vi - iVi (2.8)

и изменением средней концентрации С.

Для изучения связи потока Q с параметрами течения Wj, и пористой среды перейдем к анализу перемещения отдельной меченой частицы в потоке однородной жидкости в поровом пространстве для простоты изотропной среды. Изотропия понимается как независимость всех параметров случайных полей, характеризующих микростроение среды, относительно жестких вращений и зеркальных отображений выбранной системы координат.

В силу хаотичности микростроения можно считать, что фактические (локальные) скорости жидких частиц Vi образуют случайное векторное поле в трехмерном пространстве. Относительно этого поля будем предполагать, что оно непрерывно во всех точках. Поскольку рассматривается недеформируемая пористая среда, то в точках, принадлежащих твердым микрочастицам, следует полагать локальные скорости равными нулю. Поле локальных скоростей не зависит от времени, если, конечно, не меняются осредненные параметры этого поля, доступные наблюдению и контролю, например средняя скорость. Обычно средняя скорость изменяется настолько медленно, что при этом поле локальных скоростей фактически проходит через ряд стационарных состояний.

Введенная выше средняя скорость, характеризующая поток жидкости определяется путем осреднения по плоскому сечению среды что эквивалентно как предполагалось в § 1, осреднению по объему

где AFa, Л5§ - соответственно частп объема (AV) или площади (5"), занятые только жпдкнмп частицами. Эта средняя величина называется в феноменологической теории «истинной» скоростью потока. В то же время скорость фильтрации Wi связана со значением Wi соотношенпем Дюпюп - Форхгеймера

•Tf7 I I I ""-Ж 1 I I = 4 "• = - (2.10)

AV д>2

1 См. также ссылку на стр. 13.

Рассмотрим движение в случайном поле локальных скоростей какой-нибудь маркированной жидкой частицы, не отличающейся по своим механическим характеристикам от остальных жидких частиц.

Если в начальный момент частица находилась в точке = О, г = 1,2, 3, системы координат, движущейся со средней скоростью, то через время t ее координаты будут

iit)= \{Vi{x)-wi)dxJvn-)dx, (2.11)

где v* - скорость пульсации.

Таким образом, относительное смещение меченой частицы определяется как среднее значение от случайной функции vf{x) фактически вдоль некоторой кривой, проходящей сквозь поровое пространство, а именно вдоль линии тока жидкой частицы.

Скорость пульсации является случайной функцией времени т движения частицы, как и в турбулентном потоке жидкости, хотя природа случайных пульсаций скоростей различна. В турбулентном потоке случайность вызвана неустойчивостью течений при больших числах Рейнольдса, скорость в каждой его точке случайно меняется во временп, тогда как в пористых средах пульсации реализуются в пространстве и вызываются «устойчивой» случайностью микроструктуры среды 1.

Для исследования случайности микростроения пористой среды введем случайное непрерывное поле локального тензора пористой среды ау, определяемого следующим образом: в каждой микроточке среды средняя скорость Wi случайным образом преобрааустся в локальную г;, по правилу

Vc = a,jWj. (2.12)

В силу самого определения (2.12) среднее его значение = б,-у- единичному тензору. Подчеркнем, что поле в областях предельной автомодельности по числу Рейнольдса (т. е. в области Ползущих движений, где несущественна инерция жидкости и справедлив закон Дарси, а также в области полной турбулизации микроструек жидкости - см. подробнее ниже) не зависит от величийи средней скорости потока и определяется только внутренней геометрией пористой среды. Однако компоненты локального тензора ЙОристой среды могут зависеть от направляющих косинусов средней сЯорости, поскольку это безразмерные величины. Примем упрощающую гипотезу: случайное поле локального тензора пористой среды не зависит от направления средней скорости [8, 160].

Если для поля тензора a,y характерны такие свойства, то при обращении направления средней скорости локальные скорости во всех точках порового пространства также изменят знаки на противоположные. Это означает, что меченая частица, вышедшая в момент i = О из точки а:,- = О и попавшая в момент t

1 Для характерпстпкп подобной сптуацпи используется также специаль-шлй термин: «псевдотурбулептпость» (см. Ю. А. Буевич и др. J. Fluid Mech., 1969, vol. 37, p. 2, 371-381).

обращения скорости в точку с координатами х,- (t) согласно уравиеиию (2.11), за время 2 t должна была бы вернуться в исходную точку xi = 0. Таким образом, введение поля ац в принципе позволяет учесть отмеченную Дж. Тейлором (об этом сообщила госпожа Рут Ароиов (США) во время Международного конгресса по химии в Москве в июле 1965 г.) характерную особеииость перемешивания жидкости при очень медленном движении в пористых средах в отсутствии молекулярной диффузии при очень медленном движении - краска, занимающая некоторый объем пор и расползшаяся в фильтрационном потоке, прп его обраще-нип должна собраться снова в исходной области.

Ранее Дж. Тейлор (см., например, [8, 161]) замечал, что в плоском потоке чисто фильтрациоииое перемешивание должно ограничиваться полосой между двумя линиями тока, проходящими через крайние точки области, первоначально занятой мечеными частицами. Подчеркнем, однако, что это справедливо лишь при абсолютном отсутствии молекулярной диффузии, так Как даже весьма слабое участие последней приводит к тому, что меченая частица перескакивает с одной линии тока иа другую и ее движенпе уже не будет контролироваться строго детерминированным во времени полем локального тензора пористой среды.

Величина смещения (t) в силу случайности скорости пульсации vf сама является случайной величиной и для достаточно больших интервалов времени можно принять гипотезу о нормальном законе распределения трехмерной случайной функции (t), т. е. вероятности попадания жидкой частицы в момент времени t в точку с координатами х, х<, Xg. Тогда плотность распределения этой вероятности в системе координат, оси которых являются главными осями соответствующей дисперсионной матрицы, имеет вид

(2.13)

где xf - среднеквадратичное перемещение.

Выражение (2.13) есть решение типа мгновенного источника уравнения диффузии, записанное в главной системе координат

если рассматривать С как относительную концентрацию меченых частиц. Здесь - составляющие по осям коэффициента кон-еективной диффузии

А7 = -1Й). (2.15)

А так как уравнение применимо при достаточно больших длинах пробега меченой частицы, то фактически в (2.14) фигурируют уже макрокоординаты Xi такие, что dXi > dXj.

Распределение (2.13), а следовательно, и уравнение (2.14) характеризуют попадание частицы в макроточку с координатами Х, Х, Xg - нормальный закон распределения справедлив при случайных блужданиях частиц после бесконечно большого числа шагов. Аналогия движения частицы жидкости в поровом пространстве с броуновским случайным блужданием частиц была впервые