Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 [ 24 ] 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108

справедливые для волн неслишком больших частот (при больших частотах теплообмен между фазами перестает быть пропорциональным разности температур, так же как сила межфазового взаимодействия - разности скоростей смещения фаз - см. § 11). Тем не менее формула (9.13) дает правильное предельное значение скорости лри (О оо:

Ьа->г;оо = (рсо0со)- при (0- оо,

(У 1 ))

га- г;о=(Ро0о)", при со-> 0.

При С < 1, Л <<( 1 из формулы (9.14) получается упрощенное выражение для коэффициента затухания

Если 6о/воо = 1, то А (h) = Роо/р, Б (h) = О, температурная релаксация отсутствует и формула (9.14) переходит в выражение:

б Ю g(Po/Pco-l)Pc»/P ,grj.

2 (1 + 2)(2р/р+р/р)

В отсутствие инерционной релаксации (pj = pg) имеем Ро == Рсо, и коэффициент затухания определяется только тепловыми эффектами - см. уравнение (9.5) -

(9.18)

Уравнения, описывающие распространение воли первого рода, совпадают с упрощенными уравнениями распространения звука в смесях при совместном учете тепловой и инерционной релаксации [81].

М. А. Исакович [93] изучал закономерности акустических воли в простейшей модели смеси со «слоистым» вдоль фиксированной оси распределением фаз ло пространству при мощности чередующихся слоев в 2 и 22. т. е. вполне аналогичной модели, принятой Ю. В. Рпзиичеико [190] для анализа ультразвуковых волн в гетерогенных сплошных средах (см. § 11). Однако, если в работе [190] исследовалась инерционная релаксация, то М. А. Исакович рассматривал только эффект теплообмена и нашел точные выражения для у и б. Предельные значения о- оо, как и следовало ожидать, совпали с выражениями (9.19).

В частном случае 1 = I2 = I (т. е. Шд = 0,5), = «2 = " (коэффициенты температуропроводности материала фаз равны), = с2 = С (теплоемкости фаз равны), но aj ф дает для коэффициента зависимость, полностью аналогичную зависимости, представленной формулой (9.18), если Ту = (1/За). Следовательно, для такой модели х = 3D/il, D = ac.

Рассмотренные ранее уравнения распространения упругих волн в двухфазных пористых средах нетрудно обобщить на случай трехфазной пористой среды, состоящей из твердой, жидкой и газообраз-

ной фаз. Соответствующее, приведенное в § 5, построение (без изучения тепловых эффектов) было выполнено в работе [265].

Линеаризованные уравнения неразрывности для каждой из фаз рассматриваемой системы (твердые частицы, жидкость, газ) можно записать следующим образом:

«1 i.;i + midivir=0, П1=4,

+ m-fmgdiv = 0, П,=-§-, (9.20)

-l-m§ + m»3div=0, Пз=,

где и, IV, V - скорости частиц твердой, жидкой и газообразной фаз; ml - первоначальное содержание каждой из фаз в единице объема среды (т -Ь 2 + тз = 1); р? - начальные значения плотностей фаз; mi, р,. - возмущение соответствующих величин.

Суммируя уравнения (9.20), получим

-д-\-т\ div li-f-m" Aivwml div у = О,

/д 21)

П = тП1 + т§П2 + ?г°Пз.

Будем считать, что в каждой точке давление в жидкой и газообразной фазах одинаково (капиллярными силами пренебрегается), а сила трения действует между твердой и жидкой, а также между твердой и газовой фазами и пропорциональна разности скоростей соответствующих фаз.

Из опытных данных о фазовых проницаемостях [227] известно, что газовая фаза неподвижна относительно частиц твердой фазы,, если S = mll{m% -- ml) не превосходит значения 0,1-0,2.

Примем, что содержание газообразной фазы относительно мало:

< 0,1-0,2, т. е. будем рассматривать пористую среду с защемленным газом [83].

Тогда уравнения (9.21) и уравнения движения (5.11) сведутся к следующим:

\-m\,+ml = Q, (9.22)

dt dxi dxi

m\p\=m\+r{wi-u,),

mlp\=-ml-r(wi-ui),

где использованы соотногпенпя т\ ";>> ml, р° > pl.

Для коэффициента тршия г -- Гд, справедлива формула (5.12) прп /2 {S){.

в рассматриваемой трехфазной среде температуры каждой из фаз будут, вообще говоря, различными. Поэтому здесь нужно выписывать три уравнения сохранения энергии. В линеаризованном виде они, как нетрудно показать, доллшы записываться следующим образом:

mid = mW. wTi + m,To0i - x (T - T,) + x„ (Тз - T),

(9.23)

mgc3 = т10зуТз + та, - хз (Г, - - ><2з (?з -Т),

где хз, Х23, - коэффициенты соответствующего меячфазового теплообмена, которые нужно определять по данным опыта.

Принимая во внимание, что плотность твердой фазы зависит от среднего истинного напряжения о и 7", а плотности жидкой и газообразной фаз соответственно от р, Т; р, Гд, линеаризованные уравнения состояния запишем в следующем виде:

ni=-pi(T-ai7i, ПгРгР-ссгТг, ПзРзР-адТз. (9.24)

Связь между напряжениями и деформациями в скелете, как нетрудно видеть, будет такой же, как и для двухфазной среды

a!! = ml {Xie6ii + 2X2ij) + miiKp6ii-a,mlKTi6i,; (9.25)

так как давления в жидкой и газообразной фазах принимаются одинаковыми (возмущения давления предполагаются малыми по сравнению с начальным давлением). Здесь учтено возникновение деформации твердой фазы из-за ее теплового расширения [76].

Рассмотрим теперь распространение продольных периодических волн в исследуемой среде. При этом снова ограничимся случаем мягких Ф1/В - < 1) пористых сред, в которых газовая фаза неподвижна, и будем дополнительно предполагать, что

= <i + ml2 + ml3- (9.26)

Оценим, при каком содержании газа в единице объема среды выполняется условие (9.26). Пусть Pi Ь-Ю ат~, 4-10" ат~, §3 0,8 am-i, К i/B 10-10 ат. При этом условие « 1 достаточно хорошо выполняется соответственно при ml - 10" -10"

Как отмечалось ранее, в насыщенных жидкостью пористых средах могут распространяться волны двух типов - волны первого и второго родов, причем в мягкой пористой среде в волне первого рода <т -р. Физически ясно, что в рассматриваемом случае также будет две продольные волны, причем, если выполнено условие (9.26), то для первой волны тоже а -р.

Таким образом, чтобы получить уравнения, описывающие первую (акустическую) волну из уравнений (9.23), (9.24), (9.25), нужно в них