Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 [ 5 ] 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108

При этом фактически принято, что pivWj = pViVj, т. е. в данном анализе пренебрегается пульсационным переносом импульса из-за отклонений локальных скоростей от средних значений - - Wl = V*, а также, что средняя скорость жидкости, определенная как частное от деления среднего по объему импульса на среднюю плотность, равна средней скорости, найденной по правилу (3.10).

По теореме (3.3) имеем

j divP-J dV = pijnjdS+ fpijhjdS = div{mpij)-Fl\ (3.15)

где оператор div определен уже в макрокоординатах XiXiXg, FP - результирующая сила, действующая на жидкость на многочисленных внутренних поверхностях ра.эдела жидкой и твердой фаз в объеме AV

AFT I/"/ (3.16)

а величина рц определяется как среднее фазовое напряжение жидкости на поверхности грани

« = ет \phnidS. (3.17)

Воспользовавшись определением средней плотности (3.9) для выражения третьего слагаемого в уравнении (3.12) и подставляя в него выражения (3.13) и (3.14), получим осредненное уравнение неразрывности импульса для жидкой фазы

(mpWi) -f (mpWiWi - mpij) + Fl - pmgi = 0. (3.18)

Аналогичные преобразования приводят к осредненному уравнению неразрывности для твердой фазы

Pi(l-m) + p,(l-m), = 0 (3.19)

и к осредненному уравнению неразрывности импульса для твердой фазы

-- (Pi (1 - rn)ui) + (Pi (1 - /и) UiUj - а и (1 - т)) -

-Fr-pAi-m)gi = 0, (3.20)

где Ui - средняя скорость смещения твердых частиц; pj - средняя их плотность, Оц - среднее напряжение в твердой фазе.

В силу равенства

рцП = -оцп,

в точках граничной поверхности 5(wy - нор.маль, направленная в сторону жидкой фазы) выполняется условие

F} = ~F}=Fi, (3.21)

имеющее известный механический смысл (действие равно противодействию).

Суммирование уравнений (3.18) и (3.19) приводит к уравнению неразрывности импульса во всей среде в целом

~{pi(i-m) ui+p2mwi)+- {-Tlj + pi (1 - m) UiUj+ ртгиги/) -

-(Pi(l-m)-l-p2m),. = 0, (3.22)

где = (1 - m)Oij + трц - суммарное (полное) напряжение, действующее на поверхности макрообъема AF.

Уравнение (3.22) можно было выписать без рассмотрения процедуры осреднения, воспользовавшись общими модельными предположениями. Проведенное выше осреднение по объему Д V позволило свести проблему построения эффективного уравнения движения фазы к предположению о виде силы взаимодействия

Ранее при анализе движения взаимопроникающих сред было предложено два различных в общем случае определения силы

Согласно первому из них, принадлежащему Н. Е. Жуковскому [70], осредненное движение частиц жидкости в поровом пространстве определяется теми же законами, как и в свободном пространстве (уравнениями Эйлера), но силы вязкостного сопротивления сводятся к эффективной силе i?;, пропорциональной относительной средней скорости потока жидкости. Таким образом, уравнение (3.18) принимает вид

что соответствует следующему определению силы Fi межфазового взаимодействия

FiRi-p-l (3.24)

и вполне оправданному пренебрежению вязкими составляюпщми сил на поверхности AS макрообъема по сравнению с вязкими силами на множестве внутренних поверхностей (в силу чего рц = - Рц)-Био [260, 261] называет уравнение (3.23) уравнением относительного движения жидкости.

Уравнение (3.20) согласно определению (3.24) записывается в виде

.diui d{i - m)Oij d(i - m) . „ , ч /о ос\

Pi(l-)- =-щ-+ + Pi(l-m) gi. (3.25)

Здесь и ниже используются следующие обозначения:

d д , д do д , д

dt ~ dt / dXj dt ~dt i dXj •

Уравнения движения (3.5)-(3.7) в общем случае неравных фазовых напряженш! предлагались для описания волновых про-

цессов Я. И. Френкелем [215]. При равенстве фазовых напряжений = -pbij эти уравнения переходят в уравнения X. А. Рахма-тулина

(1 Pl = - (1 - ЖГ-+ (1 -"Sn (3.26)

Рис. 1. Схематическое представление контактной передачи и»шульса в насыщенной пористой среде.

согласно которым обе фазы становятся равноправными. По X. А. Рах-матулину [186] уравнения (3.26) описывают движение взаимопроникающей смеси твердых и жидких частиц или частиц разнородных жидкостей.

В связи с этим рассмотрим величину разности фазовых напряжений

afj = (i-m)(a.,i + p6,j), (3.27) ("

называемую фиктивными [10, 8] (или эффективными [206]) напряжениями. Нетрудно видеть, что соотношение (1.9) записывается с введением а/, в виде

Tij = (i-m)Otj - mp6i,=

-o{j-p8i,: (3.28)

Если учесть, что в насыщенной пористой среде непосредственному измерению поддаются величины суммарных напряжений Г,, (приложенная в целом к среде нагрузка) н порового давления р (при помощи пьезометра), то оказывается, что именно фиктивные напряжения a{j также доступны измерению и контролю, тогда как и для измерения истинных напряжений сту требуется вводить, вообще говоря, переменную пористость - см. соотношение (3.28). Поэтому опытные данные по механике грунтов формулируются чаще всего с использованием фиктивных напряжений.

Фиктивные напряжения физически интерпретируются как та часть истинных напряжений ст,.у в твердой фазе, которая обусловлена независимым от жидкости (и единственным в сухой пористой среде) механизмом передачи импульса - по контактам между твердыми зернами.

Иллюстрирующая этот механизм схема представлена на рис. 1 - фиктивные напряжения сжимают «пружинки», действуют на связи между частицамп скелета среды. Согласно этим представлениям различие в фазовых напряжениях должно исчезать, скажем, в таких средах, как разбавленные суспензии, если вообще исключены (даже на короткий промежуток времени) взаимные контакты твердых частиц. Поэтому уравнения X. А. Рахматулпна (3.26) должны совпадать с предложенными уравнениями продольного движения суспензий (без учета вязкости обычного типа). Более тонкий анализ течений взвесей, требующий