Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 [ 41 ] 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108

Предположим, что pi > рз, > хпфВ Тогда

коэффициенты в уравнениях (15.15) упростятся:

1 1 Ьо

= pi, h{i-m)

. i - m

; = --, q=\-m, r =

Т m2(l -m) Pl

m (i - m) Pl »P2

(15.16)

Воспользовавшись этим, a также пренебрегая единицей по сравнению с X, сведем второе уравнение системы (15.15) к следующему:

1 +-L

,,.2

dip dxi

-(s + 26,)P = 0, (15.17)

.здесь с и г;оо - скорости, определяемые выражениями (15.11), а - коэффициент затухания (15.12).

Уравнению (15.17) соответствует характеристическое уравнение

•(s + 26,) = 0, (15.18)

решения которого

Г1 = .

s(s-b26.)

(15.19)

С2 i vl

Ограниченное на бесконечности решение для Р имеет вид

Р {х, S) = ilie- + 26- (15.20)

Рассмотрим приложение нагрузки со стороны жидкого поршня. Согласно первому уравнению (15.15), а также соотношению (15.16) соответствующее граничное условие (см. § 13) принимает вид

Отсюда в рассматриваемом приближении имеем

1=0, 2 =

(15.21)

(15.22)

и соответственно для жидкого поршня оказывается справедливым решение

Р {х, s) - ехр

Vs (S + 26,)

(15.23)

Воспользовавшись результатами, полученными в книге [86], найдем оригинал функции давления

Р (х, t)

(15.24)

f>xlvc

О, Kxlvco-

Выражение (15.24) совпадает с формулой для распространения скачка давления при соответствующем воздействии на пористую среду с абсолютно жестким скелетом.

При приложении нагрузки со стороны проницаемого поршня с учетом граничных условий § 13, первого уравнения (15.15) и условий (15.16) найдем

Р{х, s) = Л1(е-"- -е--»-),

.Далее

v%{K\-Kl)A, = \s{s + {n + m)). voo (K-Xl) = -5 [s (l --f 2/;,] -s{s- 2/;J,

(15.25)

так как рВ < рзРз- Поэтому получим

s-f- (fi-f т) -

Л=- -т--гТа-- - (15-26)

Учитывая условие % - mJB 1, приближенно запишем

iliO, P{x,s)0, F(a;,s)-exp (--), (15.27) что соответствует

f а,, при t >> а;/с р(.,0-0, а(.,0-{; (15-28)

Таким образом, при приложении нагрузки со стороны жидкости насыщен-вая газом пористая среда ведет себя подобно пористой среде с абсолютно -жестким •скелетом. При воздействии типа «проницаемого поршня» практически вся нагрузка воспринимается скелетом, а давление в жидкости почти не изменяется; приложенная к границе нагрузка распространяется по скелету в впде незатухающего скачка со скоростью с = \jYрВ.

Согласно результату (15.14) идеально сцементированная насыщенная жидкостью пористая среда при слабых динамических воздействиях ведет себя примерно так же, как и пористая среда, насыщенная газом.

При учете температурных эффекщов уравнения распространения волн в насыщенной газом пористой среде с абсолютно жестким скелетом запишутся (см. § 9) в виде

дР „2 дР , о/, др 02 д2Т аг „, дТ

(15.29)

dt с2 dt п

здесь а2, Р2 - коэффициенты объемного расширения и изотермической сжимаемости газа соответственно; с2 - теплоемкость газа на •единицу объема при постоянном давлении; Т - отклонение температуры газа от начальной Т; Та = тс о/я (х - коэффициент теп.ло-

обмена между газом и скелетом); i, = I/I/P2P2 - изотермическая скорость звука газа.

Выше было показано, что в такой среде скорость г;оо распространения волн давления при больших частотах равна адиабатической

скорости звука в газе

VooVyJV, (15.30)

где у2 - показатель адиабаты газа.

Для коэффициента затухания таких волн при со оо справедлива формула

° = * + - (15-31>

Отсюда при динамическом действии воздушной волны на насы-ш;енную газом пористую среду цементации Kfi s& 1 скорость распространения волны давления будет определяться уравнением (15.30), а коэффициент затухания фронта волны - выражением (15.31). Скорость распространения волны напряжения в скелете остается

без изменений с l/"/pi5.

Предположим теперь, что насыш,енная газом пористая среда соприкасается: а) со свободной газовой средой; б) с однофазной упругой средой - и со стороны указанных сред на границу раздела нормально к ней надает периодическая волна. В свете изложенного выше ясно, что в случае «а» нроходяш,ая в газонасыщенную пористую среду волна будет быстрозатухающей волной второго рода (газонасыщенная среда работает как акустический поглотитель), а в случае «б» - волной первого рода. (Строго говоря, вторая прошедшая волна тоже будет, но с очень малой амплитудой.)

Результаты, излагаемые в данном параграфе, были получены П. П. Золотаревым [78].

§ 16. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВОЛН С ГРАНИЦАМИ В НАСЫЩЕННЫХ ПОРИСТЫХ СРЕДАХ

Рассмотрим сначала общую задачу об отражении волн от пористого насыщенного слоя без учета температурных эффектов. Прежде всего уравненпя движения (5.1), (5.II), можно записать для перемещения твердой фазы и для смещения жидкости относительно скелета среды

Pl (1 -«0) +1 4т - "") = (1 -"о) (1 + 2X2) уЧ + Q уФ\

(16.1)

р,тд -Ъ {Г- Тп =Qy4 + R уФ\ (16.2) где использованы обозначения Био - см. табл. 2.