Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 [ 36 ] 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108

Однако оправданной оказывается только постановка задачи об уплотнении среды выcoкoпpoницaeшм поршнем, так как лишь при приложенной нагрузке этого типа изменения на второй волне будут отличаться от нуля при е 0. При приложении нагрузки этого тппа справедливы следующие формулы для распределения фиктивного напряжения [164]:

L..exp(-M)+ fUiIfi).. (13.25)

прп ty. х/с и 0 = 0 прп t < х/с.

Скорость смещения твердой фазы прп этом оказывается равной

1 - mo г р

а поровое давление в области х <ct представляется в виде

(13.26)

ргЬй/

(13.27)

В точке X - ct = -\-0 (прп подходе к ней слева) давление в жидкости будет

Р = -о* а прп I > c< пмеем

1 -е"

pix,t) = -a,(i-Pe-»b) прих>.(.

(13.28)

(13.29)

Вычитая пз (13.28) выражение (13.29), получим, что в точке х = ct давление в жпдкостп скачком меняется на величину

(13.30)

Для исследования во.гны первого типа в мягких пористых средах можно воспользоваться, как это было показано в § 5, релаксационным уравнением

т -ог-

5 /dip

It V dt

t - lo VV) + yp) = 0. (13.31)

При этом нужно соответствующим образом изменить постановку граничных условий, считая, что вся нормальная нагрузка воспринимается поровым давлением. Следует помнить, что получаемые результаты будут справедливы с точностью до е-малых величин.

Рассмотрим сначала вопрос о ширине фронта акустической волны давления. При этом воспользуемся полученным выше результатом, что при всех способах мгновенного приложения постоянной во вре-

менн (при t 0) нагрузки для волны давления практически реализуется условие

р(<,а; = 0)=р„ (13.32)

.здесь р, - изменение суммарного наиряженпя на возмущающей границе в одномерном плоском случае при х = 0.

Пусть возникшая ири этом слабая ударная волна распространяется по первоначально покоившейся среде, т. е. дополним условие (13.32) следующим:

p(x,t==0) = 0, {др/дх),=о = 0,

р (Х- оо, t) = 0.

(13.33)

Решение математически аналогичной задачи (относительно возмущения скорости в релаксирующей жидкости), построенное в работе И. П. Стаханова и Е. В. Стуиоченко [202], имеет вид

p(,t)-\dco, A-col/IH. (13.34)

где путь интегрирования L происходит по действительной оси плоскости со с обходом начала координат ио верхней полуплоскости. При < <! x/Vco возмущение отсутствует, а ири (t - х/Vm) = >> О для малых величин f < х решение, выражающееся через функции Бесселя, имеет вид

р{х, 0 = Р,ехр А =

2 vr

J,{-2iVAt),

Рсо \ / 1. , 3 Рсо \

Ро ) 1 4 4 Ро

(13.35)

Поскольку /о {2iYAt) 1 ири t < т, то решение приближенно можно записать как

p{x,t)=0, <--f-<0.

р{х, 0=Р,ехр

1-"=

Ро / соТ

0<<--f-«T. (13.36)

При X > VooX разрыв практически размывается, в эти моменты времени решение представляется в виде

р(х, t) = -0

vat-x

VPoo

- 1 VgXX

ф(2) = /А j е-/=г\

(13.37)

Как нетрудно видеть, решение (13.37) соответствует представлению среды в виде жидкости с объемной вязкостью, вызываемой инерционной релаксацией (см. (8.31), а также [311]). Согласно (13.37) ширина размывающегося фронта слабой ударной волны при < > т определяется формулой

Для водонасыщенного кварцевого песка {vo= 1,9 км/сек, v = 2,2 км/сек, т= 10 сек - см. стр. 76) формулой (1.3.38) можно пользоваться прп i> у. 2,2 м. Имеем: б = 7,3 ж прп i = 10 м; б = 22,2 м прп х = iO м; б = 73 м прп I = 10* .к.

А. Г. Багдоев [4] исследовал решение уравнения (13.31), полученного пм путем линеаризации системы уравнений X. А. Рахмату-•лина для полупространства при задании на поверхности осесимме-трпчного граничного условия

[ Р,(-, t), r<:R(t) P(,y,0,t) = [ \ J; (13.39)

и начальных условиях покоя р = О, dp/dt = О при < = 0. Здесь г = Yx + у\

Решение строится с испо.льзованием преобразования Лапласа и для трансформанты давления Р (х, у; s) имеет вид

Р ( ) = -2 11] 1!7-Р {-if «40)

где

Si = l/T, S2 = vll{vx), RY{Xo-xy- + {yo + yf + z\

Далее А. Г. Багдоев разлагает подынтегральное выражение по стеиеням s~ и ограничивается первым членом разложения, что соответствует построению асимптотического решения, справедливого в начальные моменты времени

1 д Р{г, t-RJv)

t-Но/Vco D f (r) s,

Xsin(/ dsdxodyo, (13.41)

где границей области интегрирования D служит поверхность г* = R {t - Rolvoo); f (г) = t - функция, обратная г = R (t).