Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 [ 17 ] 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108

Глава II

ЗВУКОВЫЕ МОНОХРОМАТИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ В НАСЫЩЕННЫХ ПОРИСТЫХ СРЕДАХ

§ 7. дисперсионные соотношения для продольных и поперечных волн

Влагонасыщенность естественных горных пород заметно влияет на закономерности распространения продольных и поперечных волн, причем эффект полного насыщения порового пространства особенно существен у мягких горных пород (грунтов). Для определенности в табл. 3 приведены результаты некоторых экспериментальных измерений скорости распространения продольных v и поперечных г;. волн совместно с обычно используемой характеристикой грунта.

Таблица 3

Данные табл. 3 показывают, что наблюдаемые скорости продольных и поперечных волн существенно меняются даже внутри одного класса горных пород- класса грунтов. Эти изменения можно попытаться объяснить в рамках однофазных теорий сплошной среды степенью уплотненности среды (сравнительным изменением величин упругих коэффициентов и плотности среды), что соответствует примерно пропорциональному увеличению скоростей обоих типов волн (коэффициент Пуассона меняется не столь резко).

Действительно, для грунтов № 2-9 (наличие жидкости у которых не отмечалось (см. табл. 3) соотношение r/s =3 4, однако у грунта Х- 1 (влажного) это соотношение достигает 10 С другой стороны, известно, что эффект насыщения порового пространства несравненно слабее для сцементпрованных горных пород.

Объяснение этих качественных различий следует искать в теории динамического деформирования пористых двухфазных сред.

Для анализа распространения волн представим векторы скорости смещения твердой и жидкой фаз в следующем виде:

« = --(grad9i--roti), w = 4t (grad 92-f rot 12),

где ф2 - скалярные, ij), ijjg - векторные потенциалы смещения.

Подстановка этих выражений в систему уравнений (5.1)-(5. IV), (5.VII) приводит (в пренебрежении силами тяжести) к уравнениям, решения которых будут решениями исходной системы

p-f4mo(l-m„)(-)=0. (7.1)

(Pi (1 - /«о) (1 - PiA) P2mo)p + (l-o) (1 ~ Pi) УФН

-bmoV>2 = 0,

--p-dtT-

Tt---дГ Wi~0,

(7.2)

5«2

-~ mo (1 -mo)

= 0.

Рассмотрим плоские гармонические продольные волны, т. е. изучим решение системы (7.1) типа

где ф", ф2, Ро - постоянные величины.

Подстановка этих соотношений в уравнения приводит к следующей системе алгебраических уравнений относительно ф", фг, р:

( - pico + ioj mo -Ь) ф? + (р2Ш - "о) Ч>1 + PiPo = О,

--f-то (1 - то) + (- то (1-то) ш-ра} Ф$ +Ро = О, (7.3)

- (1 - то) (1 - Pi) Т1*ф1 - mriS + + (Pi (1 ~ mo) (1 - Pi)-Н Рго) Ро = 0.

Система (7.3) имеет отличное от нуля решение, если величины со и т] удовлетворяют следующему дисперсионному уравнению [167, 215]:

+ (Ml -Ь М,) + Мз (1 = О, (7.4)

{[1 - (1 - ш,) Pi] + -],

PlP2 PlP2gO

тоРоо ЦОРО

P = (l-mo)Px(l-Pi) +оР. l=Y.

Ро=(1-™о)Р1 + ВД, = +-

Я. И. Френкель [215] при анализе дисперсионного уравнения для продольных волн прежде всего отметил важный случай чрезвычайно больших фильтрационных сопротивлений, когда один из корней уравнения соответствует волнам с очень малым затуханием, а другой - с очень большим. Для определения приближенного значения корня, соответствующего волнам первого рода, Я. И. Френкель предложил воспользоваться разложением по степеням малого параметра гсот

E = Eo + itoT:Ei-(oVE2 + ... (7.5)

Если подставить выражение (7.5) в дисперсионное уравнение (7.4) и приравнять коэффициенты при различных степенях сот, начиная с (coт)~, то получим такую последовательность соотношений

+ M,l,-M2li + Ms = 0, (7.6)

и т. д.

Отсюда находим, что

Ограничимся вторым членом разложения (7.5). Тогда будем иметь следующую формулу с точностью до величин первого порядка по сот:

JL ]/g£lP2. l/g BP1P2 I 1 fCOTgl 1 / gpiP2