Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 [ 34 ] 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108

о (х, t) дважды изменяется скачкообразно: в точках х = vt я х = = vt. Другими словами, существуют две волны, распространяющиеся соответственно со скоростями и 1\ (Va >• Vf,), на фронте которых напряжение о (х, t) изменяется скачком. Пусть на фронте первой волны напряжение изменяется от значения до о . Так как интеграл в точке разрыва сходится к полусумме значений справа и слева, то [х = vt) = (о + о)12 = [a]J2, где [а] = а - - о, поскольку = 0.

С другой стороны, величина (х = vt) равна интегралу по полуокружности: s = R ехр гЭ, -л/2 =5 9 =5 л/2 при R оо. При вычислениях будем пренебрегать величинами порядка и выше. Тогда

Sa [х- VJ = -0) = в Р(. + ;.тДе.-е)(г + тДе (не») .Q,

(13.8)

J mn(l -mn) pi / pi Y 2t Pa V Pi J

Отсюда получим: скорость распространения разрыва совпадает со скоростью распространения характеристических поверхностей (5.29)

laL = so,A(, i)exp(-M, (13.9)

где - коэффициент затухания скачка напряжения на фронте первой волны, совпадающий со значением коэффициента затухания во времени гармонических продольных волн первого рода (волн сжимаемости) при со оо, если вспомнить, что Ь = бдУд, где со - частота колебания в волне, а - коэффициент ее затухания (при со оо) по длине пути (8.13). Заметим, что напряжение в первой волне возрастает лишь на малую (порядка е) величину.

Таким же путем получаем, что в точке х = Vi,t = ct с точностью до членов порядка согласно выражению (13.3) интеграл Sj, принимает следующее значение:

к/2

5,(. = .0 = е-/-

-71/2

•3 г(Ц-тЛе")

(1-б)е-/\ (13.10)

Отсюда в силу непрерывности интеграла Sf, в точке х = ct получим, что на второй волне напряжение изменяется скачком на величину

[а], = а,(1-8)ехр(-6,<), = (13.11)

а коэффициентом затухания скачка является величина fcj = 1/2т. Снова Ъ,, = бу, где б, г; - коэффициент затухания и скорость распространения гармонической продольной волны второго рода при частоте колебания со оо (см. § 8). Поскольку показатели экспонент в подынтегральных выражениях (13.3) - (13.5) (т.е. величины Яц, Xfj) зависят только от вида уравнения (13.1), а не ог граничных условий, то разрывы всех величин, если они существуют, будут распространяться с теми же скоростями и затухать с коэффициентами затухания Ь, bf,.

Используя выражение (13.3), получим, что величина скачка давления на фронте первой волны с точностью до членов порядка будет

[Р]а = - (l-f (-f-)) (13-12)

а на фронте второй волны -

[РЬ = - (l )) е.хр (-V)- (13.13)

Для жидкого поршня из преобразований (13.4) следует, что [CT]„ = -ep,ftexp(-V), [pipl-eAe"*", (13.14)

[o-]& = 8j5,Aexp(-[Р]ь = 8р,7 exp(-V). (13.15)

т. е. приложенное давление распространяется скачком со скоростью фронта первой волны, тогда как на второй волне оно изменяется лишь на относительно малую величину.

Наконец, для жесткого поршня из выражений (13.5) получим с точностью до членов порядка е*/

c), = eT.Sexp(~V), -T,(\-z. (13.16)

При всех трех способах приложения нагрузки давление в жидкости на первой волне возрастает на величину порядка единицы, тогда как напряжение в скелете - лишь на величину порядка е. С другой стороны, скорость распространения определяется - см. уравнение (13.8) - лишь сжимаемостью фаз. Относительное движение жидких и твердых частиц на первой волне (и во всей области между двумя волнами) происходит только из-за различия их инерционных свойств - ири Pl = р2 коэффициент затухания Ь, пропорциональный вязкости жидкости, обращается в нуль, поскольку жидкость уже не будет смещаться относительно скелета пористой среды. В то же время на второй волне - волне переупаковки частиц - затухание будет всегда ири р. О и а оо, так как здесь

деформации вызываются уже не различием инерционных свойств фаз, а переупаковкой твердых частиц [164, 166].

Наконец, отметим, что знак напряжения в области между волной давления и волной переупаковки существенно зависит от знака величины h и совпадает со знаком приложенной в сечении а; = О нагрузки, только если ft >> 0. Если же ft < О, что наблюдается при Ра/оР < <С KBJ, то при сжимающих нагрузках в рассматриваемой области напряжение о оказывается растягивающим. Если считать, что двухфазная среда состоит из кварцевого песка и воды, то ft >> 0.

Интегралы типа (13.7), соответствующие разным типам приложения нагрузки, можно представить в виде

a+l со

a-ioD

Поэтому

подынте-

S = -Su.

В интеграле к = a имеем .. у

тральная функция имеет точки ветвления s = - Одновременно точка s = -Sf, является существенно особой. Кроме того, в зависимости от вида С а (s) подынтегральная функция имеет полюсы в точке s = О или в двух точках: s = О и s = -5;,.

Ветвь радикала + Sg)/(s + Si,) фиксируем условием, что

flrg l/(s -- Sa)/(s -- Sj,) на действительной оси при s >• - s.

При pi= Рг нетрудно построить решение, соответствующее относительно малым интервалам времени t <х, для этого [77] нужно сохранить лишь первые члены в разложениях трансформант по 1/s, а также в разложениях показателей экспонент

а для Оценки границ применимости получаемого при этом решения необходимо удержать в разложениях члены второго порядка малости.

Ввиду наличия существенно особой точки s = -sj, вычисление интеграла в общем случае затруднительно.

Однако в двух частных случаях полное рещение строится достаточно просто. Так, при равенстве плотностей фаз (при р = р) оказывается, что

Ьа = 0,

Ха = -

г -9=0.

(13.18)

Тогда для высокопроницаемого порщня получим

о (I, 0 =

-{-80*/l при I :

80*А при с. < X V о приг>уг.

}/z2-г2/с2

(13.19)