Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 [ 16 ] 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108

Далее о скоростях и, wi можно предположить следующее.

а. Все частицы первой (твердой) фазы двигаются со средней скоростью и,-, а все частицы жидкости - со скоростью ш;. Отклонениями локальных значений скорости от средних цренебрегается.

б. Все частицы твердой фазы переносятся со скоростью и, а частицы жидкости двигаются в среднем со скоростью ш,- - локальные значения скорости V{ в поровом пространстве элементарного макрообъема - случайные величины (фактические предположения Бпо [260, 261]).

В предположениях «а» для велпчпн D имеем

=--p"i(l-«o)"?+уР§тош?, (6.27)

D(>>=-Lro{wi-ai)2. (6.28)

Отсюда

(6.29)

и в уравнениях движения должны фигурировать соответствующие напряжения: (1 - Шд) а,у, -трЬц (здесь всюду в линейном приближении коэффициенты - вел1иины постоянные). Тогда, как легко видеть, уравнения (6.26) становятся идентичными уравнениями Я. Н. Френкеля после пх линеаризации.

Предположения «а» были приняты также Брутсаертом [265]. В то же время Био [260, 261] принимает предположение «б» п потому подставляет в уравнения (3.11) величину fi" кинетической энергии

i?<6) = i?u) l рО (ц,. „.)2 то (1-/), (6.30)

где / - некоторый скалярный (в изотропных средах) параметр, характеризующий случайность микростроенпя порового пространства. Био определяет этот коэффициент следующим образом:

f {Wi-Ui)2 = {ri-Ui)2, (6.31)

где черта означает знак осреднения по всему объему. Соотношение (6.30) можно представить в виде

(1-/) (",--«,)2 = (ш,-«,)2 (г;,.-«,)2 (6.32)

и далее можно преобразовать к виду

(1 - /) (ш -щ)2= - (vf - wf) = - (Vi - Wi)2 (6.33)

в сплу принимаемого Био постоянства в элементарном макрообъеме скорости ui п определения wi= vi. Такпм образом, действительно величина отличается от кинетической энергии среднего движения фаз точно на величину кинетической энергип пульсационного, хаотического движения жидкости

£<б) = £(а)-1рОто(-;;=1)2. (6.34)

Прпнилия вместо (6.34) выражение (6.30), Био фактически предполагает пропорциональность дисперсип поля локальных скоростей квадрату относительной скорости фаз, что п позволило ему ввести в уравнение движения дополни-

тельную инерционную силу, пропорциональную разности ускорений движения фаз

dill

(6.35)

Pl-2 = moP§(l-/). (6.36)

Итак, здесь фактически была произведена следующая операция - сначала выписывалось выражение для энергии случа1шых отклонений от среднего движения, затем проводилось осредненпе п путем дпфференцпрованпя определялась величина пульсационного переноса пмпульса. Подчеркнем, что обычно в механике сплошных сред идут по другому пути - сначала выписывается уравнение импульса для микродвижений "среды (например, уравнения Навье - Стокса для турбулентных течений), в нем выделяются члены, соответствующие осредненному движению и пульсациям, а затем проводится осредненпе. Тогда сплы, связанные с пульсационны.м движением, проявляются только из-за нелинейности

Сопоставление обозначений

Таблица 2

исходного уравнения импульса п ооычно рассматриваются как дополнительные напряжения, которые надо добавлять к компонентам напряжений, зависящих от других механизмов передачи импульса. Прп этом в линейном приближении пульсационное движение никаких добавок в уравнение импульса не вносит.

В связи с этим в линеаризованных уравнениях движения фаз будем считать вслед за Я. И. Френкелем, что р = 0. Более того, будем в сравнении с контактной передачей пренебрегать пульсацпонноп передачей импульса и при учете других нелинейных эффектов, как и в обычных упругих и жидких (но не турбу-лизованных) средах (см., например, [58]).

Геертсма [292] рассмотрел объемную деформацию элемента пористой среды без учета сжимаемости жидкости. Он использовал известную в теории упругости теорему взаимности Бетти, сформулировав ее для двух систем напряжений - суммарного напряжения и порового давления, что позволило ему ввести дополнительное соотношеипе между упругими константаш! среды. В результате он получпл три независимые упругие константы - полную (bulk) сжимаемость среды Сь, сжимаемость материала скелета (matrix) породы Сг, а также жесткость (модуль сдвига) Сь. Геертсма предложил систему экспериментов для измерения этих величин п отметил, что консолидированные песчаники обычно упруги, а при высоких значениях пористостп {тд > 0,15) их сжимаемость Сь пренебрежимо мала по сравнению с сжимаемостью материала скелета Сг. В дальнейшем Геертсма и Смит [293] сопоставили предложенные соотношения (уже с учетом сжимаемости жпдкостп) с соотношением Био. В табл. 2 дана сводка результатов сопоставления различных систем обозначений упругих констант, основанная на указанной на стр. 56 пнтерпретацпп напряжений Бпо (через фиктивные напряжения и поровое давление).