Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 [ 33 ] 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108

Глава III

НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НАСЫЩЕННЫХ ПОРИСТЫХ СРЕД

§ 13. ЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ О СЛАБЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ НА МЯГКИЕ СРЕДЫ

Нагрузка в двухфазной сплошной среде может быть приложена: только к жидкости («жидкий поршень»), к жидкости и к скелету среды («непроницаемый» или «жесткий» поршень) и, наконец, только к твердой фазе («высокопроницаемый» поршень).

При одномерных плоских движениях = и {х, t), = w {х, t), U2 = U3 - W2 = W3 = О, о;= О, i ф /, a{i = о (х) уравнения (5.1) - (5. IV) сводятся к системе двух уравнений относительно величин о и j9 (индекс 4/» далее опускается)

32а

5«2 ! 5«2 5г2 т* dl

Т* dl qr dp

Т, dl

(13.1)

l(l+moPiZ), p = p, + l-p2(l p,Z),

(1-р1л:)р2

j2 Ll--(l-m„)(l--P,Z)-gZB-m„-BlZBj

Для мягких грунтов и горных пород, характеризуемых условием Pi/B < 1, при малой сжимаемости жидкости Ра С величина

е = р,/В (13.2)

играет роль малого параметра.

Граничные условия для возмущений давления и напряжения имеют следующий вид [77, 168]: для проницаемого поршня а (О, t) = = of., р (О, t) = 0; для жидкого поршня а (О, t) = О, р (О, t) = р,, для жесткого поршня а (О, t) - р (О, = 7",, м (О, t) = w (О, <).

Начальные условия для всех случаев зададим в виде: р (х, 0) = = а (х, 0) = О, dpidt = 5а/5 = О = О, О < х < оо).

Применяя к системе уравнений (13.1) преобразование Лапласа, получим, что указанные граничные условия перейдут соответственно в следующие: для проницаемого поршня Р (О, 5) = О, V (О, s) = = ajs; для жидкого поршня Р (О, s) = pjs, V (О, .?) = 0; для жесткого поршня V (О, S) - Р (О, s) = r,/s, (dF/ds) -f г] (dP/ds) = О прп X = О, 1] = (1 - mo) (pi - Р2)р2- Решения указанных задач в трансформантах Лапласа в общем виде даны в работах [77, 168]. Приведем упрощенные решения для мягких грунтов, воспользовавшись условием (13.2). В пренебрежении слагаемыми порядка и выше эти решения имеют вид

Р{х, s) = -

s r(l-bsT)

~~{-~i){h~q)-hr-q

r(l-f st)2 X(e-V e-V)

V(x, s) =

1 - 8

{q + hsr) (r + sx)

r(l-f ST)2

, P {gi+f!sx) (r + sx) -I X + s r(l+sT)2 *

(13.3)

P{x, s) =

(g-f foT) (r-f ST) •(l-fsT)2 J

p* (1-f feT) (r + sT) s r(l-fsT)2

e-V.

T (.T, s) = -e

(1-mo) (-1)

(e-V e-4-)

. (13.4)

r{i+sx)

Для жесткого поршня имеем с точностью до членов порядка ег

РСг l/o"* 1./" PlT(l + sT-f 2ЬаТ) ri (•-bs

/ (X, л; Is pr(H-sT)2 г(1+б-т)-Ьт1

ST)

(r + sx)

e * -

rq + fsx

r(l-fsT) + Tl(r-bsT)

(13.5)

/ ь P(1 .,t;)2 j st) + ti (r+sT)

-ft- .

q-j-hsx ~Ух

s 1 -f ST

e " ,

здесь

± }/[• (1 -Ь sx) + г(дг + /st)]2 - 4егт5 Г- (1 + sx) - (;• - 1) (Л - д)

(13.6)

и под Яд, подразумеваются те значения Я, действительная часть которых положительна.

Определим теперь величины скачков напряжения и давления, скорость их распространения и интенсивность затухания, для чего воспользуемся способом, отмеченным в книге [244].

Рассмотрим сначала случай приложения нагрузки ири помощи высокопроницаемого поршня. Применяя к трансформанте (13.3) теорему обращения, получим следующую формулу:

о{х, t)==S, + Sb,

a+ioo

о Г dxZb - s jl + sx) st-\x ds

2ni J c2x{lb-)

a+ico

;i3.7)

Заметим, что все особенности подынтегральных выражений в S, Si, находятся в левой полуплоскости. Если, кроме того, окажется, что показатели экспонент в выражениях (13.7) можно представить в виде

- V = s - -х1а (s), St - Xt,x = s(t - - xlt, (s)

(где 5a (s), li, (s) стремится к конечному пределу ири s оо), то это означает, что интеграл S, обращается в нуль при x/v, а интеграл Sf, равен нулю при t < x/v,,.

Действительно, рассмотрим, например, интеграл S. В правой полуплоскости s >• О особенностей у подынтегрального выражения интеграла S нет, а поэтому он сводится к интегралу по контуру полуокружности бесконечно большого радиуса, который обращается в нуль вследствие ограниченности (s) при s оо и условии t < x/va- в то же время при t х1 Va интеграл S отличен от нуля, а это означает, что в точке t = х1 величина S претерпевает скачок {Va является скоростью распространения этого скачка) и непрерывна справа и слева от него. Аналогично интеграл 5, изменяется скачком только в точке t = x/Vf, (он равен нулю при t < x/Vj, и отличен от нуля ири t >. х/ Vf,). Это означает, что величина напряжения